Karedeki sayıların çarpımı 520 olacaktir

Question Answer
1
  1. satr
    .satu
    211
    Cem vukandaki 2x14 lūk birim karelere Sayılar yerleştirecokie
    5
    karedeki sayıların çarpımı 520 olacaktir.
  2. satırdaki karelere 2’nin pozitif tam sayı kuvveti olan Sayıları yerleştirecektir. Bu satırda seçilen her ardişik oc.
    Buna göre 1. ve2. satırda üst üste gelen sayıların kuvvetleri, kaç
    A) 1
    B) 4
    yerleştirecektir.
    55
    tane
    C)7
    Bu satirda seçilen her ardişik c
    sütunda aynıdır?
    D) 10

satr 1satu 211 Cem vukandaki 2x14 lūk birim karelere Sayılar yerleştirecokie 5 karedeki...
satr 1satu 211 Cem vukandaki 2x14 lūk birim karelere Sayılar yerleştirecokie 5 karedeki...1024×643 77.6 KB

2

Üslü İfadeler ve Periyodik Örüntüler

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Üslü sayılarda çarpma işlemi: a^x \cdot a^y \cdot a^z = a^{x+y+z}
  • Ardışık üç terimin çarpımı sabit ise kuvvetler toplamı sabittir:
    x_n + x_{n+1} + x_{n+2} = K \implies x_{n+3} = x_n
    Bu durum, dizinin her 3 adımda bir kendini tekrar ettiğini (3 periyotlu olduğunu) gösterir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — 1. Satırdaki Kuvvetlerin Periyodunu ve Değerlerini Belirleme
Ardışık her üç karenin çarpımı 2^{20} olduğuna göre, ardışık üç üssün toplamı 20 olmalıdır. Bu nedenle kuvvetler her 3 sütunda bir tekrar eder:

  • 4.\text{ sütun } (4 \equiv 1 \pmod 3) \implies 2^{11}, yani 1., 4., 7., 10., 13. sütunların üssü 11’dir.
  • 11.\text{ sütun } (11 \equiv 2 \pmod 3) \implies 2^3, yani 2., 5., 8., 11., 14. sütunların üssü 3’tür.
  • Üçlü toplam 20 olduğundan, 3.\text{ sütun } (3 \equiv 0 \pmod 3) için üs:
    20 - (11 + 3) = 20 - 14 = 6
    Dolayısıyla 3., 6., 9., 12. sütunların üssü 6’dır.

Adım 2 — 2. Satırdaki Kuvvetlerin Periyodunu ve Değerlerini Belirleme
Ardışık her üç karenin çarpımı 5^{20} olduğuna göre, buradaki üsler de her 3 sütunda bir tekrar eder:

  • 10.\text{ sütun } (10 \equiv 1 \pmod 3) \implies 5^5, yani 1., 4., 7., 10., 13. sütunların üssü 5’tir.
  • 6.\text{ sütun } (6 \equiv 0 \pmod 3) \implies 5^6, yani 3., 6., 9., 12. sütunların üssü 6’dır.
  • Üçlü toplam 20 olduğundan, 2.\text{ sütun } (2 \equiv 2 \pmod 3) için üs:
    20 - (5 + 6) = 20 - 11 = 9
    Dolayısıyla 2., 5., 8., 11., 14. sütunların üssü 9’dur.

Adım 3 — Kuvvetlerin Eşit Olduğu Sütunları Bulma
Her iki satırın sütun numaralarına göre üslerini karşılaştıralım:

  • n \equiv 1 \pmod 3 olan sütunlar (1, 4, 7, 10, 13): 1. satır = 11, 2. satır = 5 \implies 11 \neq 5
  • n \equiv 2 \pmod 3 olan sütunlar (2, 5, 8, 11, 14): 1. satır = 3, 2. satır = 9 \implies 3 \neq 9
  • n \equiv 0 \pmod 3 olan sütunlar (3, 6, 9, 12): 1. satır = 6, 2. satır = 6 \implies 6 = 6 (Eşit)

Kuvvetlerin aynı olduğu sütunlar: 3, 6, 9 ve 12. sütunlar olmak üzere toplam 4 tanedir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) 4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Periyodik Dizi: Belirli aralıklarla aynı değerleri alan dizilerdir. x_n + x_{n+1} + x_{n+2} = x_{n+1} + x_{n+2} + x_{n+3} eşitliğinden dolayı x_n = x_{n+3} elde edilir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Sütunları tek tek yazarken tabanları çarpmak veya tabanları aynıymış gibi işlem yapmak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Yalnızca kuvvetlerin toplamının 20 olduğuna odaklanıp 3’lü periyodu kurarak sonuca ulaşmak.

Benzer bir mantıkla hazırlanmış bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?