Kare İçindeki Taralı Alanın Hesaplanması

Üniversite
1

soruyu düzgün bir şekilde cevapla

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 92.7 KB

2

Kare İçindeki Taralı Alanın Hesaplanması

Görseldeki soruda ABCD bir karedir. Verilenlere göre |AE| = 5 \text{ cm}, |EP| = 7 \text{ cm} ve DE \perp AP ile AP \perp PB diklikleri mevcuttur. Bizden istenen ise taralı bölgenin alanıdır.

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL:]

  1. Öklid Bağıntısı ve Dik Üçgende Pisagor: a^2 + b^2 = c^2
  2. Karenin Alanı: \text{Alan}(ABCD) = a^2 (a bir kenar uzunluğu)
  3. Üçgenin Alanı: \text{Alan} = \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2}

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — APB Dik Üçgeninde Kenar Hesabı
APB üçgeninde P açısı 90^\circ derecedir. |AP| = |AE| + |EP| olduğundan:
|AP| = 5 + 7 = 12 \text{ cm} olur.
Ancak karenin kenarını bulmak için elimizde yeterli bilgi yok gibi görünse de, ADE ve APB üçgenleri arasındaki benzerliği veya diklikleri kullanmalıyız. DE \perp AP olduğu verilmiş. ADE dik üçgeninde hipotenüs karenin bir kenarıdır (|AD|). Aynı şekilde APB dik üçgeninde hipotenüs karenin diğer kenarıdır (|AB|). Karenin kenarları eşit olduğundan |AD| = |AB|'dir.

Adım 2 — ADE Üçgeninde Bilinmeyen Kenarı Bulma
ADE üçgeninde dik açı E noktasındadır (DE \perp AP). Bu durumda Pisagor teoremine göre:
|AD|^2 = |AE|^2 + |DE|^2
|AD|^2 = 5^2 + |DE|^2 = 25 + |DE|^2

APB üçgeninde ise dik açı P noktasındadır. Pisagor teoremine göre:
|AB|^2 = |AP|^2 + |PB|^2
|AB|^2 = 12^2 + |PB|^2 = 144 + |PB|^2

Karenin kenarları eşit olduğu için (|AD|^2 = |AB|^2):
25 + |DE|^2 = 144 + |PB|^2 \implies |DE|^2 - |PB|^2 = 119

Bu aşamada şekil üzerindeki diklikleri ve açıları incelediğimizde, \angle DAE + \angle EAB = 90^\circ olduğunu biliyoruz. ADE üçgeninde açılara \alpha ve \beta dersek, benzerlikten |DE| = |AP| = 12 \text{ cm} ve |AE| = |PB| = 5 \text{ cm} sonucuna ulaşırız (Eş üçgenler).
Karenin bir kenarı: a^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \implies a = 13 \text{ cm}.

Adım 3 — Taralı Alanın Hesaplanması
Taralı alan, tüm karenin alanından beyaz üçgenlerin alanının çıkarılmasıyla bulunur.

  • Karenin Toplam Alanı: 13 \times 13 = 169 \text{ cm}^2
  • Alan(ADE): \frac{5 \times 12}{2} = 30 \text{ cm}^2
  • Alan(APB): \frac{12 \times 5}{2} = 30 \text{ cm}^2 (Burada |PB|=5 ve |AP|=12)

Fakat taralı bölge DEBCP beşgeni gibi durmaktadır. Şekle göre taralı alan:
\text{Taralı Alan} = \text{Alan}(ABCD) - [\text{Alan}(ADE) + \text{Alan}(APB) - \text{Alan}(AEP)] değildir.
En net yol: \text{Taralı Alan} = \text{Alan}(ABCD) - [\text{Alan}(ADE) + \text{Alan}(APB)]
\text{Taralı Alan} = 169 - (30 + 30) = 169 - 60 = 109 \text{ cm}^2

Ancak görselde P noktasının konumu APB üçgeninin iç bölgesini de kapsamaktadır. E ve P noktaları doğrusal bir hat üzerinde olduğundan:
\text{Taralı Alan} = 169 - 30 - 30 = 109 \text{ cm}^2

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] 109 \text{ cm}^2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Eş Üçgenler

  • [Tanım:] Kenar uzunlukları ve açıları birbirine eşit olan üçgenlerdir.
  • [Bu problemde:] ADE ve APB üçgenlerinin hipotenüsleri karenin kenarları olduğu için eştirler.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Hipotenüsü Yanlış Seçmek

  • [Yanlış:] |AP| uzunluğunu karenin kenarı sanmak.
  • [Doğru:] Karenin kenarı AD veya AB doğru parçalarıdır.
  • [Neden yanlış:] P noktası karenin içinde bir noktadır, kenar üzerinde değildir.

Bu tür geometri sorularında benzerlik oranlarını daha detaylı incelememi ister misin?