Soru Fotoğrafı:
KULLANILAN FORMÜLLER:
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İlk Durumdaki Alanı Hesaplama
İki eş kare dik piramit başlangıçta ayrı ayrı durduğundan, toplam yüzey alanı her bir piramidin tüm yüzey alanlarının toplamıdır.
Bir piramidin alanı: A_{piramit} = a^2 + 4 \times (\frac{1}{2} \times a \times l_y) = a^2 + 2al_y
İki piramidin ilk durumdaki toplam alanı: A_{ilk} = 2 \times (a^2 + 2al_y) = 2a^2 + 4al_y
Adım 2 — Tabanlar Çakıştığında Alan Değişimini Analiz Etme
İki piramit tabanları çakışacak şekilde birleştirildiğinde, iki taban alanı (2a^2) şeklin dış yüzeyinden kaybolur ve iç yüzey haline gelir. Bu durumda yüzey alanı 2a^2 azalır.
Probleme göre bu azalma 72 birimkaredir.
2a^2 = 72
a^2 = 36
a = 6 birim (Taban ayrıtı uzunluğu)
Adım 3 — Yan Yüzler Çakıştığında Alan Değişimini Analiz Etme
Piramitlerin yan yüzleri çakışacak şekilde birleştirildiğinde, bir yan yüzeyin alanı azalır. Bir piramidin 4 yan yüzü vardır. Yan yüzleri çakışacak şekilde birleştirildiğinde, bir piramidin iki yan yüzü diğer piramidin iki yan yüzüyle çakışır ve dışarıdan görünmez hale gelir. Dolayısıyla, toplamda 4 yan yüz alanı kaybolur (her piramitten 2 yan yüz).
Bir yan yüzeyin alanı: A_{yan} = \frac{1}{2} \times a \times l_y
Toplam 4 yan yüz alanı: 4 \times (\frac{1}{2} \times a \times l_y) = 2al_y
Probleme göre bu azalma 30 birimkaredir.
2al_y = 30
a = 6 birim olduğundan:
2 \times 6 \times l_y = 30
12l_y = 30
l_y = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} = 2.5 birim (Yan yüz yüksekliği)
Adım 4 — Piramidin Yüksekliğini (h) Hesaplama
Kare dik piramidin taban ayrıtı a, yan yüz yüksekliği l_y ve yüksekliği h arasında Pisagor bağıntısı vardır. Taban ayrıtının yarısı ile yükseklik ve yan yüz yüksekliği bir dik üçgen oluşturur.
(\frac{a}{2})^2 + h^2 = l_y^2
(\frac{6}{2})^2 + h^2 = (2.5)^2
3^2 + h^2 = (2.5)^2
9 + h^2 = 6.25
h^2 = 6.25 - 9
Bu denklemde h^2 negatif çıktığı için problemde bir çelişki veya yanlış anlama bulunmaktadır. l_y (yan yüz yüksekliği) her zaman \frac{a}{2}'den büyük olmalıdır.
Revize Adım 3 — Yan Yüzler Çakıştığında Alan Değişimi (Tek Yan Yüz)
Yan yüzleri çakışacak biçimde birleştirildiğinde bir tane ortak yan yüz oluşur. Bu, piramitlerden birinin bir yan yüzü, diğerinin bir yan yüzüyle çakışır. Dolayısıyla, ilk duruma göre toplam yüzey alanındaki azalma, çakışan iki yan yüzün alanıdır. Yani, 2 \times A_{yan} kadar bir azalma olur.
Ancak soruda “yan yüzleri çakışacak biçimde birimkare daha az olduğu görülüyor” ifadesi genellikle bir tek yüzeyin çakışarak içe dönmesi şeklinde yorumlanır. Eğer bir yan yüz çakışıyorsa, bu 2 yan yüzeyin kaybedilmesi anlamına gelir. Eğer 2 piramit birer yan yüzlerinden birleşiyorsa, bu iki piramidin birer yan yüzleri dışarıdan görünmez olur.
Yine de, metindeki “yan yüzleri çakışacak biçimde birimkare daha az” ifadesi genellikle tek bir yan yüzeyin alan kaybı olarak değil, iki piramitin yan yana getirilmesiyle kaybedilen toplam alanı ifade eder. Örneğin, iki piramit yan yana getirilip bir yan yüzleri çakıştırıldığında, toplam dış yüzey alanı iki ayrı piramidin toplam yüzey alanından 2 tane yan yüz alanı kadar azalır.
Tekrar deneme:
Eğer yan yüzleri çakışacak biçimde birleştirildiğinde oluşan şeklin alanının ilk duruma göre 30 birimkare daha az olduğu ifade ediliyorsa, bu durum iki adet yan yüzün (birer piramitten birer tane) dış yüzeyden kaybolduğu anlamına gelir.
Bir yan yüz üçgeninin alanı: A_{yan\_yuz} = \frac{1}{2} \times a \times l_y
Kaybolan iki yan yüzün toplam alanı: 2 \times (\frac{1}{2} \times a \times l_y) = a \times l_y
Bu azalma 30 birimkare olduğundan:
a \times l_y = 30
a=6 birim olduğundan:
6 \times l_y = 30
l_y = 5 birim
Adım 4 (Düzeltme) — Piramidin Yüksekliğini (h) Hesaplama
(\frac{a}{2})^2 + h^2 = l_y^2
(\frac{6}{2})^2 + h^2 = 5^2
3^2 + h^2 = 25
9 + h^2 = 25
h^2 = 25 - 9
h^2 = 16
h = 4 birim (Piramidin yüksekliği)
Adım 5 — Bir Bloğun Hacmini Hesaplama
Kare dik piramidin hacim formülü: V = \frac{1}{3}a^2h
a = 6 birim ve h = 4 birim değerlerini yerine koyarsak:
V = \frac{1}{3} \times (6^2) \times 4
V = \frac{1}{3} \times 36 \times 4
V = 12 \times 4
V = 48 birimküp
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 48 birimküp
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Kare Dik Piramit
2. Yüzey Alanı Değişimi
SIK YAPILAN HATALAR:
Alan Azalmasını Yanlış Yorumlamak
Pisagor Bağıntısını Hatalı Kullanmak
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
