Kapatırken karpuzları şekildeki kutuya yerleştiriyor

YKS TYT
1

SIcakl
6. Yaz aylarında manavda çalişan Mert akşamları dükkanı
kapatırken karpuzları şekildeki kutuya yerleştiriyor.
2m
1m
Ozdeş ve tam küre şeklindeki karpuzların yarıçapı 10 cm
olduğuna göre, ölçüleri şekilde verilen kutuya kaç adet
karpuz siğar?
A) 500
B) 400
C) 250
D) 150
E) 50

Yaz aylarında manavda çalişan Mert akşamları dükkanı kapatırken karpuzları şekildeki...
Yaz aylarında manavda çalişan Mert akşamları dükkanı kapatırken karpuzları şekildeki...1024×720 136 KB

2

Kutuya Sığabilecek Karpuz Sayısının Hesaplanması

:light_bulb: KULLANILAN KURAL VE FORMÜLLER:

  • Bir kürenin kapladığı doğrusal alan çapı (d) kadardır:
    d = 2r
  • Prizma şeklindeki bir koliye yerleştirilebilecek küre sayısı, kutunun her bir kenar uzunluğunun kürenin çapına bölünmesiyle bulunan adetlerin çarpımı ile hesaplanır:
    \text{Toplam Karpuz Sayısı} = n_x \times n_y \times n_z
    n_x = \frac{\text{En}}{d}, \quad n_y = \frac{\text{Boy}}{d}, \quad n_z = \frac{\text{Yükseklik}}{d}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Birim Dönüşümü ve Karpuzun Çapının Bulunması
Kutunun boyutları metre (\text{m}), karpuzun yarıçapı santimetre (\text{cm}) cinsinden verildiği için tüm değerleri santimetreye çevirelim:

  • Kutunun Eni: 1\text{ m} = 100\text{ cm}
  • Kutunun Boyu: 1\text{ m} = 100\text{ cm}
  • Kutunun Yüksekliği: 2\text{ m} = 200\text{ cm}

Karpuzun yarıçapı r = 10\text{ cm} olduğuna göre çapı (d):

d = 2 \times 10\text{ cm} = 20\text{ cm}

Adım 2 — Kenarlar Boyunca Sığabilecek Karpuz Sayılarının Hesaplanması
Karpuzlar küresel olduğu için her bir karpuz her doğrultuda 20\text{ cm}'lik yer kaplar:

  • Enine (x ekseni): \frac{100\text{ cm}}{20\text{ cm}} = 5\text{ adet}
  • Boyuna (y ekseni): \frac{100\text{ cm}}{20\text{ cm}} = 5\text{ adet}
  • Yüksekliğe (z ekseni): \frac{200\text{ cm}}{20\text{ cm}} = 10\text{ adet}

Adım 3 — Toplam Karpuz Sayısının Hesaplanması
Kutuya sığabilecek toplam karpuz sayısı, üç boyuttaki karpuz sayılarının çarpımıdır:

\text{Toplam Karpuz Sayısı} = 5 \times 5 \times 10 = 250\text{ adet}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) 250
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Katı Cisimlerde Paketleme ve Boşluk Oranı

  • Tanım: Küresel cisimler bir kutuya dizildiğinde aralarında boşluklar kalır.
  • Bu problemde: Karpuzların hacimleri toplamı kutunun hacmine eşitlenemez; kürelerin kapladığı alan çap (2r) üzerinden doğrusal olarak hesaplanmalıdır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Hacimleri Birbirine Oranlamak

  • Yanlış: Kutunun hacmini (V_{\text{kutu}} = a \cdot b \cdot c) karpuzun hacmine (V_{\text{karpuz}} = \frac{4}{3}\pi r^3) bölmek.
  • Doğru: Karpuzun çapı üzerinden her bir ayrıta kaçar adet sığdığını hesaplayıp çarpmak.
  • Neden yanlış: Küreler katı cisim olduğu için kutuyu tamamen dolduramaz, aralarında boşluklar kalır. Hacim oranlaması yapıldığında aradaki boşluklar da karpuzmuş gibi sayılarak hatalı ve fazla bir sonuç bulunur.

Bu tip katı cisim ve hacim-paketleme sorularıyla ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?