Kamları toplamına bölündüğünde bölüm 4, kalan 3'tür

YKS TYT
1
  1. Rakamları birbirinden farklı iki basamaklı ab doğal sayısi ra-
    kamları toplamına bölündüğünde bölüm 4, kalan 3’tür.
    Buna göre, yazilabilecek iki bassamaklı ab doğal sayısı-
    nin rakamları çarpımı en fazla kaçtır?
    A) 6
    B) 15
    c) 28
    D) 45
    E) 56

Rakamları birbirinden farklı iki basamaklı ab doğal sayısi ra- kamları toplamına...
Rakamları birbirinden farklı iki basamaklı ab doğal sayısi ra- kamları toplamına...1024×356 73.2 KB

2

Rakamları Toplamına Bölündüğünde Bölüm 4 ve Kalan 3 Olan İki Basamaklı Sayının Rakamları Çarpımının En Büyük Değeri

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  1. Bölme Özdeşliği:

    \text{Bölünen} = (\text{Bölen} \times \text{Bölüm}) + \text{Kalan}
    ab = 4 \cdot (a + b) + 3

  2. Kalan Koşulu:

    0 \le \text{Kalan} < \text{Bölen} \implies 3 < a + b

  3. Basamak Çözümleme:

    ab = 10a + b

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Bölme Özdeşliğini ve Basamak Açılımını Yazma
İki basamaklı ab sayısını basamaklarına ayırıp bölme denklemine yerleştirelim:

10a + b = 4 \cdot (a + b) + 3

Parantezi dağıtalım:

10a + b = 4a + 4b + 3

Adım 2 — Değişkenleri Sadeleştirme ve Bağıntıyı Bulma
Benzer terimleri eşitliğin iki tarafında toplayalım:

10a - 4a = 4b - b + 3
6a = 3b + 3

Eşitliğin her iki tarafını 3 ile sadeleştirelim:

2a = b + 1 \implies b = 2a - 1

Adım 3 — a ve b Rakamlarını Belirleme
a bir onlar basamağı rakamı olduğu için a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} olabilir. b’nin de bir rakam (0 \le b \le 9) olması ve soruda belirtilen rakamları birbirinden farklı (a \neq b) ile a + b > 3 şartlarını sağlaması gerekir:

  • a = 1 \implies b = 2(1) - 1 = 1 \implies a = b olduğundan alınamaz (rakamları aynı).
  • a = 2 \implies b = 2(2) - 1 = 3 \implies ab = 23 (a + b = 5 > 3, sağlanır). Rakamlar çarpımı: 2 \times 3 = 6
  • a = 3 \implies b = 2(3) - 1 = 5 \implies ab = 35 (a + b = 8 > 3, sağlanır). Rakamlar çarpımı: 3 \times 5 = 15
  • a = 4 \implies b = 2(4) - 1 = 7 \implies ab = 47 (a + b = 11 > 3, sağlanır). Rakamlar çarpımı: 4 \times 7 = 28
  • a = 5 \implies b = 2(5) - 1 = 9 \implies ab = 59 (a + b = 14 > 3, sağlanır). Rakamlar çarpımı: 5 \times 9 = 45
  • a \ge 6 için b \ge 11 olur, rakam olma şartını sağlamaz.

Adım 4 — En Büyük Çarpımı Bulma
Elde edilen çarpımlar \{6, 15, 28, 45\} arasından en büyük değer:

a \times b = 5 \times 9 = 45

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: D şıkkıdır (45)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Basamak Çözümleme

  • Tanım: Bir sayının rakamlarının basamak değerlerinin toplamı şeklinde ifade edilmesidir.
  • Bu problemde: İki basamaklı ab sayısı 10a + b şeklinde çözümlenerek cebirsel denklem kurulmuştur.

2. Kalan Koşulu

  • Tanım: Bir bölme işleminde kalan sayı daima bölenden küçük ve sıfıra eşit ya da sıfırdan büyük olmalıdır (0 \le K < B).
  • Bu problemde: Kalan 3 olduğu için a + b > 3 koşulu sağlanmalıdır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: “Rakamları Farklı” Koşulunu Gözden Kaçırmak

  • Yanlış: a = 1 için b = 1 alarak ab = 11 sayısını geçerli saymak.
  • Doğru: Soru kökündeki “rakamları birbirinden farklı” ifadesi gereği a \neq b olmalıdır. 11 elenmelidir.

Benzer tipte basamak kavramı ve bölme kurallarını içeren pekiştirici bir soru daha çözmemi ister misin?