Aşağıda zemine dik olan bir direğin tepesindeki kameranın kayıt alabileceği alan yeşil renk ile gösterilmiştir. Kameranın görüş açısının ölçüsü 24^irc ve HAK açısının ölçüsü 69^irc dir.
|AH| = 35 metre olduğuna göre |AB| nun yaklaşık kaç metre olması gerektiğini bulunuz.
(\tan 69^irc \approx 2,6)
Kameranın Görüş Alanındaki |AB| Uzunluğunun Hesaplanması
KULLANILAN FORMÜLLER:
- Dik üçgende trigonometrik oran: \tan(\alpha) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}}
- Üçgenin iç açıları toplamı: \alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Direğin Yüksekliğini (|KH|) Bulma
KHA dik üçgeninde H açısı 90^\circ, A açısı 69^\circ ve komşu kenar |AH| = 35\text{ m}'dir.
\tan(69^\circ) = \frac{|KH|}{|AH|}
2{,}6 = \frac{|KH|}{35}
|KH| = 35 \times 2{,}6 = 91\text{ m}
Adım 2 — \widehat{HKA} Açısını Bulma
KHA dik üçgeninin iç açıları toplamından:
m(\widehat{HKA}) = 90^\circ - 69^\circ = 21^\circ
Adım 3 — KHB Dik Üçgenindeki Tepe Açısını (\widehat{HKB}) Bulma
Kameranın görüş açısı m(\widehat{AKB}) = 24^\circ olarak verilmiştir.
m(\widehat{HKB}) = m(\widehat{HKA}) + m(\widehat{AKB})
m(\widehat{HKB}) = 21^\circ + 24^\circ = 45^\circ
Adım 4 — |HB| Toplam Uzunluğunu Bulma
KHB dik üçgeninde m(\widehat{HKB}) = 45^\circ olduğundan bu üçgen bir ikizkenar dik üçgendir (\tan(45^\circ) = 1):
\tan(45^\circ) = \frac{|HB|}{|KH|}
1 = \frac{|HB|}{91} \implies |HB| = 91\text{ m}
Adım 5 — |AB| Mesafesini Hesaplama
H, A, B noktaları doğrusal olduğundan:
|HB| = |AH| + |AB|
91 = 35 + |AB|
|AB| = 91 - 35 = 56\text{ m}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: |AB| = 56\text{ metre}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Tanjant Fonksiyonu
- Tanım: Bir dik üçgende bir dar açının karşısındaki dik kenar uzunluğunun komşusundaki dik kenar uzunluğuna oranıdır.
- Bu problemde: Direğin yüksekliğini (|KH|) hesaplamak için \tan(69^\circ) değeri kullanılmıştır.
2. İkizkenar Dik Üçgen (45^\circ-45^\circ-90^\circ)
- Tanım: Dar açıları 45^\circ olan ve dik kenar uzunlukları birbirine eşit olan dik üçgendir.
- Bu problemde: KHB açısı 45^\circ çıktığı için |HB| taban uzunluğu doğrudan direk boyu olan 91\text{ m}'ye eşit olmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Açıyı Doğrudan AB Uzunluğuyla Oranlamak
- Yanlış: 24^\circ’lik açıyı doğrudan \tan(24^\circ) = \frac{|AB|}{|KH|} şeklinde yazmak.
- Doğru: \widehat{AKB} açısı bir dik üçgenin açısı değildir; bu nedenle önce açılar toplanarak dik üçgen olan KHB’nin açısı (45^\circ) bulunmalıdır.
- Neden yanlış: Trigonometrik oranlar doğrudan dik üçgenler üzerinde tanımlıdır.
Bu trigonometri sorusunu pekiştirmek için benzer bir dik üçgen ve açı problemi çözmemi ister misin?