KaFeiN MATem lcinde bir miktar kirmizı renkll svI bulunan dik üçgen bicimindeki cam kutunun kenar uzuntukları birer tam

Maths Question
1

KaFeiN MATem
27) C
lcinde bir miktar kirmizı renkll svI bulunan dik üçgen
bicimindeki cam kutunun kenar uzuntukları birer tam
sayidir. Bu cam kutu iki farkh biçimde korurmlandırldiğında
kimizı renkti sivinin ölçüleri cm olarak izerlerine
yazılmıştr.
Carn kutunun yüzeyinin her bir bölgesi aynı miktarda
SIVI alabildiğine göre, cam kutunun çevre uzunluğu
kaç cm olabilir?
A) 64
B) 70
C) 72
D) 80
E) 88

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli800×803 57.6 KB

2

Cam Kutunun Çevre Uzunluğunu Bulma Problemi

:light_bulb: Kullanılan Temel Kural:
Farklı şekillerde korumalandığında cam kutunun yüzeyinin her bir bölgesinin aynı miktarda sıvı aldığı bilgisi, yüzey alanlarının eşit oranda bölündüğünü gösterir.

:brain: Çözüm Adımları:

Adım 1 — Üçgenlerin kenar uzunluklarını belirleme
Verilen dik üçgenlerde, birinci üçgende kenarlar 6, 8 ve hipotenüs (bulacağız), ikinci üçgende kenarlar 8, 10 ve hipotenüs (bulacağız, ya da diğer kenar).

İlk üçgende dik kenarlar: 6 cm ve 8 cm. Hipotenüs:

c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}

İkinci üçgen zaten 8 ve 10 birim olarak verilmiş, diğer kenar 6 cm olabilir (verilen bilgiye göre 6, 8, 10 üçgeni).

Adım 2 — Sıvının kapladığı alanlar ve oranları
İki farklı şekilde sıvının ölçüleri veriliyor. Bu sıvının hacminin (veya yüzey alanının) eşit olması gerektiği için alanlar oranlanacak.

İlk üçgende kırmızı sıvının alanı \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 cm²
İkinci üçgende kırmızı sıvının alanı \frac{1}{2} \times 8 \times 10 = 40 cm²

Ölçek faktörünü bulmak için oran:

\text{Ölçek} = \frac{40}{24} = \frac{5}{3}

Bu, ikinci şeklin ilk şekle göre \sqrt{\frac{5}{3}} kat daha büyük olduğunu gösterir.

Adım 3 — Kenar uzunluklarının tamsayı olması şartı
Kenar uzunlukları birer tam sayı olduğuna göre, üçgenin kenarları benzer üçgen oranlarına göre büyütülmeli ve çevre uzunluğu tam sayı olmalıdır.

Ölçek faktörünü k = \sqrt{\frac{5}{3}} olarak düşünürsek, kenar uzunlukları 6k, 8k, 10k olacaktır.

Burada k sayısal olarak kesin olarak tam sayı olmasa da kenarların çarpımı ile çevre hesaplanır.

Adım 4 — Çevre uzunluğunu hesaplama
Çevre = Toplam kenar uzunluğu
P = 6n + 8n + 10n = 24n olarak düşünelim ve n değerine göre seçeneklere bakalım.

Seçeneklerde 64, 70, 72, 80, 88 cm verilmiş. Bu değerlerin 24’e bölünüp tam sayı olup olmadığına bakalım:

  • 64 / 24 ≈ 2.66 (tam sayı değil)
  • 70 / 24 ≈ 2.91 (tam sayı değil)
  • 72 / 24 = 3 (tam sayı)
  • 80 / 24 ≈ 3.33 (tam sayı değil)
  • 88 / 24 ≈ 3.66 (tam sayı değil)

72 cm çevre uzunluğu mantıklı ve tam sayı olabilir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: Cevap: C) 72 cm
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: Temel Kavramlar:

  • Benzer Üçgenler: Kenar uzunlukları orantılıdır.
  • Alan Oranı: Alanlar, kenar uzunluklarının karesi oranına eşittir.
  • Çevre Uzunluğu: Kenarların toplamıdır ve tam sayı olmalıdır.

:warning: Dikkat Edilmesi Gerekenler:

  • Alan oranına göre ölçeklendirme yapmalısınız, sadece kenarların oranını almak yeterli olmaz.
  • Kenar uzunluklarının tamsayı olması koşulunu sağlamak için çevre değerinin 24’ün katı olmasına dikkat edin.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

İçinde bir miktar kırmızı renkli sıvı bulunan dik üçgen biçimindeki cam kutunun kenar uzunlukları birer tam sayıdır. Bu cam kutu iki farklı biçimde konumlandırıldığında kırmızı renkli sıvının ölçüleri cm olarak üzerlerine yazılmıştır. Cam kutunun yüzeyinin her bir bölgesi aynı miktarda sıvı alabildiğine göre, cam kutunun çevre uzunluğu kaç cm olabilir?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Benzerlik (köşede oluşan küçük üçgenler orantılıdır)
  • Pisagor Teoremi (h^2 = p^2 + q^2 dik üçgende)

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Birinci konumlandırmadan kenar oranlarını belirle

Birinci durumda dik açı köşesindeki küçük üçgenin kenarları 8 ve 6 cm olarak verilmiş; bu kenarlar büyük üçgenin dik kenarları p ve q ile orantılıdır.

p \cdot t = 8
q \cdot t = 6
\frac{p}{q} = \frac{8}{6}
\frac{p}{q} = \frac{4}{3}

Adım 2 — İkinci konumlandırmadan diğer oranı belirle

İkinci durumda küçük üçgenin, p ile hipotenüs h kenarlarına karşı gelen parçaları 8 ve 10 cm olarak verilmiştir:

p \cdot s = 8
h \cdot s = 10
\frac{p}{h} = \frac{8}{10}
\frac{p}{h} = \frac{4}{5}

Adım 3 — Kenarları orantıyla ifade et

Oranlardan elde edilir:

p : q = 4 : 3
p : h = 4 : 5

Buna göre pozitif bir tam sayı k için:

p = 4k
q = 3k
h = 5k

Adım 4 — Pisagor ile tutarlılığı kontrol et

h^2 = p^2 + q^2
(5k)^2 = (4k)^2 + (3k)^2
25k^2 = 16k^2 + 9k^2
25k^2 = 25k^2

Bu eşitlik sağlandığı için üçgenin kenarları 3k,4k,5k biçiminde ve çevresi 12k olur.

Adım 5 — Seçenekleri incele

Adım 5.1 — A Seçeneğini İncele (64 cm)

12k = 64
k = \frac{64}{12}
k = \frac{16}{3}

k tam sayı değil → A seçeneği yanlış.

Adım 5.2 — B Seçeneğini İncele (70 cm)

12k = 70
k = \frac{70}{12}
k = \frac{35}{6}

k tam sayı değil → B seçeneği yanlış.

Adım 5.3 — C Seçeneğini İncele (72 cm)

12k = 72
k = \frac{72}{12}
k = 6

k tam sayı → C seçeneği mümkündür.

Adım 5.4 — D Seçeneğini İncele (80 cm)

12k = 80
k = \frac{80}{12}
k = \frac{20}{3}

k tam sayı değil → D seçeneği yanlış.

Adım 5.5 — E Seçeneğini İncele (88 cm)

12k = 88
k = \frac{88}{12}
k = \frac{22}{3}

k tam sayı değil → E seçeneği yanlış.

Adım 6 — Seçenek Karşılaştırması

:white_check_mark: C. 72 — Bu nedenle uygun (çünkü k=6 tam sayı)

:cross_mark: A. 64 — Uygun değil (k tam sayı değil)

:cross_mark: B. 70 — Uygun değil (k tam sayı değil)

:cross_mark: D. 80 — Uygun değil (k tam sayı değil)

:cross_mark: E. 88 — Uygun değil (k tam sayı değil)

Adım 7 — Son Doğrulama

Kenarlar 3k,4k,5k olup k=6 alınırsa kenarlar 18,24,30 olur ve çevre 18+24+30=72 cm olur; verilen ölçülerle ve benzerlik ilişkileriyle tutarlıdır.

:white_check_mark: CEVAP: C) 72 cm

TEMEL KAVRAMLAR:

1. Benzerlik

  • Tanım: İki üçgenin karşılıklı kenarları orantılıysa üçgenler benzerdir.
  • Bu problemde: Küçük ve büyük üçgenler benzer olduğu için kenar parçaları orantılıdır.

2. Pisagor Teoremi

  • Tanım: Dik üçgende hipotenüsün karesi, dik kenarların kareleri toplamına eşittir.
  • Bu problemde: (5k)^2 = (4k)^2 + (3k)^2 eşitliği tutularak 3-4-5 üçgeni doğrulanmıştır.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Oranları karıştırmak

  • Yanlış: Küçük üçgen parçalarını hipotenüs ile karşılaştırırken dik kenarlarla karıştırmak.
  • Doğru: Hangi parçanın hangi büyük kenara karşılık geldiğini dikkatle eşleştir.
  • Neden yanlış: Yanlış eşleştirme yanlış oran verir.
  • Düzeltme: Her durumda küçük üçgenin kenarının hangi büyük kenara karşılık geldiğini kontrol edin.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?