Kaç tam sayı değeri ifadesi bir polinom belirttiğine göre m'nin alabileceği

YKS TYT
1

A) 1
B) 2
C)3
D) 4
E) 5
kaç tam sayı değeri
vardır?
ifadesi bir polinom belirttiğine göre m’nin alabileceği
P) = 3x m+1 -2x5-m+x2 -1
Test- 01

C)3 kaç tam sayı değeri vardır?
C)3 kaç tam sayı değeri vardır?1024×768 57.3 KB

2

P(x) = 3x^{\frac{15}{m+1}} - 2x^{5-m} + x^2 - 1 İfadesinin Polinom Olmasını Sağlayan m Tam Sayı Değerlerinin Sayısı

:light_bulb: KULLANILAN KURAL:
Bir ifadenin x değişkenine bağlı bir polinom belirtebilmesi için tüm terimlerdeki x değişkeninin kuvvetleri (dereceleri) birer doğal sayı (\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}) olmalıdır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Kuvvetlerin Doğal Sayı Olma Şartını Belirleme
Verilen P(x) ifadesinde m’ye bağlı olan kuvvetler \frac{15}{m+1} ve 5-m’dir. Bu ifadelerin her ikisinin de doğal sayı olması gerekir:

  1. \frac{15}{m+1} \in \mathbb{N}
  2. 5 - m \ge 0 \implies m \le 5

Adım 2 — \frac{15}{m+1} İfadesini Doğal Sayı Yapan Değerleri Bulma
\frac{15}{m+1} sonucunun bir doğal sayı olması için (m+1) ifadesi 15’in pozitif tam böleni olmalıdır (15’in pozitif bölenleri: 1, 3, 5, 15):

  • m + 1 = 1 \implies m = 0
  • m + 1 = 3 \implies m = 2
  • m + 1 = 5 \implies m = 4
  • m + 1 = 15 \implies m = 14

Adım 3 — m \le 5 Şartını Sağlayan Değerleri Seçme
Bulunan m değerlerinin 5-m \ge 0 eşitsizliğini sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim:

  • m = 0 \le 5 :white_check_mark: (Kuvvetler: \frac{15}{1} = 15 ve 5-0=5)
  • m = 2 \le 5 :white_check_mark: (Kuvvetler: \frac{15}{3} = 5 ve 5-2=3)
  • m = 4 \le 5 :white_check_mark: (Kuvvetler: \frac{15}{5} = 3 ve 5-4=1)
  • m = 14 \le 5 :cross_mark: (5-14 = -9 \notin \mathbb{N}, polinom şartını bozar)

Buna göre m’nin alabileceği tam sayı değerleri kümesi \{0, 2, 4\} olup toplam 3 tanedir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C şıkkı (3)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Polinom Olma Şartı

  • Tanım: P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0 ifadesinde tüm dereceler n \in \{0, 1, 2, 3, \dots\} olmalıdır.
  • Bu problemde: x’in üssü olan \frac{15}{m+1} ve 5-m ifadelerinin negatif olmaması ve kesirli kalmaması sağlanmıştır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: m+1 = 15 \implies m = 14 Değerini de Çözüme Dahil Etmek

  • Yanlış: Sadece 15’in bölenlerine bakıp m = \{0, 2, 4, 14\} diyerek 4 değer bulmak.
  • Doğru: İkinci kuvvet olan 5-m \ge 0 şartını da mutlaka kontrol etmek.
  • Neden yanlış: m = 14 yazıldığında x^{5-14} = x^{-9} terimi oluşur ve bu terim ifadenin polinom olmasını engeller.

Bu konuyla ilgili benzer bir soru daha çözerek pratik yapmak ister misin?