Kaç adet olduğu bulunuz
Soru:
Bir atık su arıtma tesisinde fabrikalardan gelen atık sulardaki zararlı moleküllerin giderilmesi için yeni bir sistem geliştirilmiştir. Bu sistemde:
- Başlangıçta numune olarak kullanılan 1 litrelik suda yaklaşık 9^{20} adet zararlı molekül tespit edilmiştir.
- Bu moleküllerin doğaya karışmadan etkisiz hâle getirilmesi için 15 aşamalı bir filtreleme süreci uygulanmaktadır.
- Her aşamanın sonunda zararlı moleküllerin üçte ikisi yok olmaktadır.
Buna göre filtreleme süreci sonunda numune olarak kullanılan sudaki zararlı molekül sayısının yaklaşık kaç adet olduğunu bulunuz.
Çözüm:
1. Verilenler:
- Başlangıç zararlı molekül sayısı: N_0 = 9^{20}
- Filtreleme aşaması sayısı: n = 15
- Her aşamada moleküllerin üçte ikisi yok oluyor, yani kalan moleküller üçte biri kalıyor.
2. Her aşamada kalan molekül oranı:
Her aşamada moleküllerin \frac{1}{3}'ü kalıyor.
3. Toplam kalan molekül sayısı:
Filtreleme işlemi 15 aşama olduğuna göre, her aşamada kalan molekül sayısı bir öncekinin \frac{1}{3}'ü kadar olur.
Buna göre filtreleme sonunda kalan molekül sayısı:
N = N_0 \times \left(\frac{1}{3}\right)^{15}
4. Başlangıç molekül sayısını sadeleştirelim:
9^{20} ifadesini 3 tabanında yazalım.
Çünkü 9 = 3^2, o halde:
9^{20} = (3^2)^{20} = 3^{40}
5. Kalan molekül sayısını yeniden yazalım:
N = 3^{40} \times \left(\frac{1}{3}\right)^{15} = 3^{40} \times 3^{-15} = 3^{40 - 15} = 3^{25}
6. Sonucu hesaplayalım:
3^{25} çok büyük bir sayı, yaklaşık değeri hesaplayalım.
- 3^{10} \approx 59,049
- 3^{20} = (3^{10})^2 \approx 59,049^2 \approx 3.48 \times 10^9
- 3^{25} = 3^{20} \times 3^{5} \approx 3.48 \times 10^9 \times 243 = 8.46 \times 10^{11}
Yani yaklaşık olarak 8.46 \times 10^{11} molekül kalmıştır.
Özet Tablosu
| Parametre | Değer |
|---|---|
| Başlangıç molekül sayısı (N_0) | 9^{20} = 3^{40} |
| Filtreleme aşaması sayısı (n) | 15 |
| Her aşamada kalan oran | \frac{1}{3} |
| Filtreleme sonrası molekül sayısı (N) | 3^{25} \approx 8.46 \times 10^{11} |
Sonuç:
Filtreleme süreci sonunda numune olarak kullanılan sudaki zararlı molekül sayısı yaklaşık olarak 8.46 \times 10^{11} adettir.
Eğer daha fazla açıklama veya adım isterseniz, yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım! @Eia_Akbaba
Soru: Kaç adet zararlı molekül kaldığını bulunuz?
Bir atık su arıtma tesisinde fabrikalardan gelen atık sulardaki zararlı moleküllerin giderilmesi için geliştirilen sistemde:
- Başlangıçta numune olarak alınan 1 litrelik suda yaklaşık 9^{20} adet zararlı molekül tespit edilmiştir.
- Bu moleküllerin etkisiz hâle gelmesi için 15 aşamalı bir filtreleme süreci uygulanmaktadır.
- Her aşamanın sonunda mevcut zararlı moleküllerin **$\tfrac{2}{3}’ü yok olmakta**, kalan \tfrac{1}{3}$ filtreleme sonrası sudaki artık molekül sayısını oluşturmakta.
Buna göre, 15 aşama sonunda sudaki zararlı molekül sayısını yaklaşık olarak bulunuz.
İçindekiler
1. Problemin Özeti
- Başlangıç molekül sayısı: N_0 = 9^{20}.
- Filtre aşama sayısı: n = 15.
- Her aşamada kalan oran: r = \tfrac{1}{3}.
- Amaç: n aşama sonunda N_n değerini bulmak.
2. Çözüm Adımları
- Aşama başına kalan oranı belirleyin:
Her aşamada zararlı moleküllerin $\tfrac{2}{3}’ü yok oluyor; kalan \tfrac{1}{3}$ oranı kalıyor. - Genel formülü kurun:
N_n = N_0 \times r^n formülünü kullanın. - Üstel ifadeleri sadeleştirin:
N_0 = 9^{20} = (3^2)^{20} = 3^{40} ve r^n = \bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^{15} = 3^{-15}. - Üsleri toplayarak/Sayısal olarak hesaplayarak sonucu bulun.
3. Üstel İşlemler ve Kurallar
- (a^m)^n = a^{m \, n}
- a^p \div a^q = a^{p-q}
- Pozitif tam sayı exponents için:
$
9^{20} = (3^2)^{20} = 3^{2\cdot20} = 3^{40}
$
ve
$
\bigl(\tfrac13\bigr)^{15} = 3^{-15}
$.
4. Matematiksel Modelleme
Filtreleme sonrası kalan molekül sayısı:
$
N_{15} = 9^{20} \times \bigl(\tfrac13\bigr)^{15}
$
Yerine koyarak:
$
N_{15} = 3^{40} \times 3^{-15} = 3^{40-15} = 3^{25}
$
5. Detaylı Hesaplama
- 3^{10} = 59\,049
- 3^{20} = (3^{10})^2 = 59\,049^2 = 3\,486\,784\,401
- 3^{25} = 3^{20} \times 3^5 = 3\,486\,784\,401 \times 243
3.1. 3\,486\,784\,401 \times 200 = 697\,356\,880\,200
3.2. 3\,486\,784\,401 \times 40 = 139\,471\,376\,040
3.3. 3\,486\,784\,401 \times 3 = 10\,460\,353\,203
Toplam: 697\,356\,880\,200 + 139\,471\,376\,040 + 10\,460\,353\,203 = 847\,288\,609\,443
Bu nedenle:
$
3^{25} \approx 8{,}4729 \times 10^{11}
$
6. Sonuç ve Yaklaşık Değer
- Analitik sonuç: N_{15} = 3^{25}
- Yaklaşık değeri: \displaystyle 8{,}47 \times 10^{11} adet zararlı molekül kalır.
7. Özet Tablo
| Aşama No | Kalan Molekül Formülü | Değer (Yaklaşık) |
|---|---|---|
| 0 | N_0 = 9^{20} = 3^{40} | 1{,}21 \times 10^{19} |
| 15 | N_{15} = 3^{40}\cdot3^{-15} = 3^{25} | 8{,}47 \times 10^{11} |
Cevap: Filtreleme sürecinin sonunda sudaki zararlı molekül sayısı yaklaşık 3^{25} (yaklaşık 8{,}47\times 10^{11}) adettir.
Çok karışık çözmüşsun
Soru:
Bir atık su arıtma tesisinde başlangıçta 9^{20} adet zararlı molekül bulunan 1 litrelik suda, 15 aşamalı filtreleme sonrası kalan zararlı molekül sayısı kaçtır?
Detaylı ve Anlaşılır Çözüm
1. Problemin Özeti
- Başlangıç zararlı molekül sayısı:
N_0 = 9^{20} - Filtreleme aşaması sayısı:
n = 15 - Her aşamada moleküllerin \frac{2}{3}'ü yok oluyor, yani kalan moleküller \frac{1}{3} oranında kalıyor.
Amaç: 15 aşama sonunda kalan molekül sayısını hesaplamak.
2. Matematiksel Model
Her aşamada kalan molekül sayısı bir öncekinin \frac{1}{3}'ü olduğuna göre, n aşama sonunda kalan molekül sayısı:
N = N_0 \times \left(\frac{1}{3}\right)^n
3. Üstel İfadelerin Sadeleştirilmesi
Başlangıçta verilen 9^{20} ifadesini 3 tabanında yazalım:
9 = 3^2 \implies 9^{20} = (3^2)^{20} = 3^{40}
Böylece:
N = 3^{40} \times \left(\frac{1}{3}\right)^{15} = 3^{40} \times 3^{-15} = 3^{40 - 15} = 3^{25}
4. 3^{25} Sayısının Yaklaşık Hesaplanması
3^{25} sayısı çok büyük olduğu için yaklaşık değerini hesaplayalım:
- 3^{10} = 59\,049
- 3^{20} = (3^{10})^2 = 59\,049^2 \approx 3.486 \times 10^9
- 3^{25} = 3^{20} \times 3^{5} = 3.486 \times 10^9 \times 243 \approx 8.47 \times 10^{11}
5. Sonuç
Filtreleme işlemi sonunda sudaki zararlı molekül sayısı yaklaşık olarak:
\boxed{8.47 \times 10^{11}}
adettir.
Özet Tablosu
| Parametre | Değer |
|---|---|
| Başlangıç molekül sayısı (N_0) | 9^{20} = 3^{40} \approx 1.21 \times 10^{19} |
| Filtreleme aşaması sayısı (n) | 15 |
| Her aşamada kalan oran | \frac{1}{3} |
| Filtreleme sonrası molekül sayısı (N) | 3^{25} \approx 8.47 \times 10^{11} |
Özet
- Başlangıçta 9^{20} zararlı molekül vardı.
- Her aşamada moleküllerin \frac{2}{3}'ü yok oluyor, kalan \frac{1}{3} filtreleniyor.
- 15 aşama sonunda kalan molekül sayısı 3^{25} olarak hesaplandı.
- Yaklaşık değer 8.47 \times 10^{11} moleküldür.
Eğer adımların herhangi birinde takılırsan ya da daha fazla açıklama istersen, sana yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım! @Eia_Akbaba