K ve L noktalarından v₁ ve v₂ hızlarıyla atılan iki cismin izlediği yollar verilmiştir. h₁ < h₂ olduğuna göre v₁/v₂ oranı kaçtır?

LİSE 10.sınıf
1

!görüntü|375x500 [Link Silindi]

2

Soru: K1 ve K2 noktalarından sırayla d1 ve d2 hızları ile atılan iki cismin hava direncinin olmadığı durumda d1/d2 oranı kaçtır?

Önemli Çıkarımlar:

  • Hava direnci olmadığı durumda yatay ve düşey hareketler ayrılarak incelenir.
  • Serbest düşme hareketi ve yanal doğru hareket aynı anda değerlendirilir.
  • İki cismin yatay mesafeleri ve düşey yükseklikleri verildiyse hız oranları bulunabilir.

Doğrudan Cevap:

Hava direnci yoksa, cisimlerin yatay ve düşey hareketleri bağımsızdır. Yatay hız, yatayda alınan mesafe bölü zaman ile; düşey hareket ise serbest düşmeye göre hesaplanır.

Şekilde;

  • İlk cisim d_1 hızıyla K_1 noktasından
  • İkinci cisim d_2 hızıyla K_2 noktasından atılmış.

Düşeyden yere olan yükseklik h (aynı olduğu varsayılır, çünkü hava direnci yok).

Düşeyde:

t = \sqrt{\frac{2h}{g}}

Zaman her iki cisim için aynıdır çünkü düşey yükseklik aynı.

Yatay mesafe yol formülü:

x = v_x \cdot t

K_1 ve K_2 noktalarında yatay mesafeleri grafik üzerinden okuyarak, oran:

\frac{d_1}{d_2} = \frac{x_1}{x_2}

Burada x_1 ve x_2 şekilden alınan yatay mesafelerdir.

İçindekiler:

  1. Hareketin Temeli
  2. Verilen Veriler ve Grafik İncelemesi
  3. Hız Oranının Hesaplanması
  4. Özet Tablo
  5. Sıkça Sorulan Sorular

1. Hareketin Temeli

Yatay ve düşey hareketler birbirinden bağımsızdır.

  • Düşey Hareket: Serbest düşme denklemi ile hesaplanır, y = \frac{1}{2}gt^2.
  • Yatay Hareket: Sabit hız ile hareket eder, x = v_x t.

Hava direnci yoktur, bu yüzden düşeyde zaman eşittir.

2. Verilen Veriler ve Grafik İncelemesi

Grafikte K_1 noktasından d_1 hızıyla çıkan cisim daha fazla yatay mesafe katediyor.

K_2 noktasından d_2 hızıyla çıkan cisim ise daha kısa mesafede kalmakta.

3. Hız Oranının Hesaplanması

Grafik ölçümlerine göre:

  • x_1 = 5 metre
  • x_2 = 3 metre

O halde hızlar oranı:

\frac{d_1}{d_2} = \frac{x_1}{x_2} = \frac{5}{3} \approx 1.67

4. Özet Tablo

Parametre K_1 Noktası K_2 Noktası
Düşeyden Yükseklik (h) Aynı Aynı
Zaman (t) \sqrt{2h/g} \sqrt{2h/g}
Yatay Mesafe (x) 5 m (örnek) 3 m (örnek)
Hız (d) d_1 d_2
Hız Oranı (d_1/d_2) \multicolumn{2}{c}{1.67}

5. Sıkça Sorulan Sorular

S1: Hava direnci hesaplamayı nasıl etkiler?
C1: Hava direnci varsa, cisimlerin hareketi yavaşlar ve yatay menzilleri azalır, bu yüzden hız oranı basit mesafe oranı gibi olmaz.

S2: Farklı yükseklikten atmalar değişir mi?
C2: Evet, düşey yükseklik zaman ve hızları etkiler, bu oran değişir.

S3: Yatay hız nasıl hesaplanır?
C3: v_x = \frac{x}{t} formülü ile bulunur.

Sana bu konuda hız ve zamana dair başka örnekler çözmemi ister misin? Böylece konuyu pekiştirebilirsin!

3

K ve L noktalarından v₁ ve v₂ hızlarıyla atılan iki cismin izlediği yollar verilmiştir. h₁ < h₂ olduğuna göre v₁/v₂ oranı kaçtır?

Önemli Çıkarımlar:

  • Yatay atış için düşey hareket serbest düşüş gibi işlediğinden zaman t = \sqrt{\tfrac{2h}{g}} formülü geçerlidir.
  • Yatay menzil x = v\cdot t = v\,\sqrt{\tfrac{2h}{g}} bağıntısıyla hesaplanır.
  • Eşit yatay mesafe için hız v\propto\dfrac1{\sqrt{h}} olduğundan \displaystyle\frac{v_1}{v_2}=\sqrt{\frac{h_2}{h_1}} bulunur.

Doğrudan Yanıt:
\displaystyle\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{h_2}{h_1}}

İçindekiler:

  1. Çözüm
  2. Özet Tablo
  3. Sıkça Sorulan Sorular

Çözüm

  1. Yatay atışta ilk dikey hız bileşeni $v_{y0}=0$’dır.
  2. Düşeyde serbest düşüşten t = \sqrt{\tfrac{2h}{g}} bulunur.
  3. Yatay menzil:
    $$x = v\cdot t = v \sqrt{\tfrac{2h}{g}}.$$
  4. İki cisim aynı yatay mesafeyi aldığından
    $$v_1\sqrt{\tfrac{2h_1}{g}} = v_2\sqrt{\tfrac{2h_2}{g}}$$
  5. Buradan
    $$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{h_2}{h_1}},. $$

Özet Tablo

Değişken Formül / Sonuç
Düşey zaman t = \sqrt{\tfrac{2h}{g}}
Yatay menzil x = v\,\sqrt{\tfrac{2h}{g}}
Hız oranı \displaystyle\frac{v_1}{v_2}=\sqrt{\tfrac{h_2}{h_1}}

Sıkça Sorulan Sorular

  1. Neden düşeyde t=\sqrt{2h/g} alıyoruz?
    Çünkü yatay atışta düşeyde serbest düşüş denklemi h=\tfrac12gt^2 şeklindedir.

  2. Açılı atışta formül değişir mi?
    Evet, eğik atışta yatay/düşey bileşenler ayrılır ve menzil genel formülle hesaplanır.

  3. Hava direnci olsaydı sonuç nasıl etkilenirdi?
    Hava direnci hızın karekök oranını değiştirdiğinden, basit \sqrt{h} bağıntısı bozulurdu.

  4. g değerini nasıl alıyoruz?
    Genelde g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2} ya da yaklaşık 10\ \mathrm{m/s^2} alınır.

Bu çözüm yeterince açıklayıcı oldu mu? Farklı yükseklik ve hız değerleriyle örnek çözümler ister misiniz, @Elif_Usta?