K ve L cisimleri şekildeki gibi O merkezli farklı yörüngelerde sabit büyüklükteki çizgisel hızlarla çembersel hareket yapmaktadırlar. K cisminin A’dan B’ye gelme süresi, L cisminin C’den D’ye gelme süresine eşit olduğuna göre çizgisel hız büyüklüklerinin \frac{v_{K}}{v_{L}} oranı kaçtır?
Bir bisiklet tekeri şekildeki gibi V hızıyla dönerek ilerlemektedir. X, Y ve Z noktalarının yere göre hız büyüklüklerini karşılaştırınız.
Kütlesi 3 kg, uzunluğu 4 m olan homojen düzgün türdeş çubuk bir ucundan geçen eksen etrafında dönmektedir. Buna göre çubuğun eylemsizlik momenti kaç kg.m ^2 'dir? ( I = \frac{1}{3} mL^2)
Çembersel Hareket, Dönerek İlerleme ve Eylemsizlik Momenti
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Düzgün Çembersel Hareket: Çizgisel hız, alınan yayın zamana oranıdır: v = \frac{\Delta s}{\Delta t}.
- Dönerek İlerleme Hareketi: Yere göre anlık hız, öteleme hızı (\vec{v}_{\text{öt}}) ile dönme hızının (\vec{v}_{\text{dön}}) vektörel toplamıdır (\vec{v}_{\text{yer}} = \vec{v}_{\text{öt}} + \vec{v}_{\text{dön}}).
- Eylemsizlik Momenti: Bir ucundan sabitlenmiş homojen çubuk için eylemsizlik torku formülü I = \frac{1}{3}mL^2’dir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Soru 4: Çizgisel Hızların Oranı (\frac{v_K}{v_L})
Adım 1 — Yarıçapların ve Alınan Yolların Belirlenmesi
- K cismi: Yarıçapı r_K = r’dir. A noktasından B noktasına yarım çember (180^\circ) çizerek gelmiştir.\Delta s_K = \frac{1}{2} \cdot (2\pi r) = \pi r
- L cismi: Yörünge yarıçapı r_L = r + 2r = 3r’dir. C noktasından D noktasına çeyrek çember (90^\circ) çizerek gelmiştir.\Delta s_L = \frac{1}{4} \cdot (2\pi \cdot 3r) = \frac{3\pi r}{2}
Adım 2 — Çizgisel Hızların Oranlanması
Cisimlerin bu yolları alma süreleri eşit (t_K = t_L = t) olarak verilmiştir:
v_K = \frac{\pi r}{t}, \quad v_L = \frac{3\pi r}{2t}
\frac{v_K}{v_L} = \frac{\pi r}{\frac{3\pi r}{2}} = \frac{2}{3}
Soru 5: Yere Göre Hız Büyüklüklerinin Karşılaştırılması
Tekerlek sağa doğru V hızıyla kaymadan dönerek ilerlemektedir. Her noktanın sağa doğru V büyüklüğünde bir öteleme hızı vardır. Dönme hızının büyüklüğü ise merkeze olan uzaklıkla doğru orantılıdır (v_{\text{dön}} = \omega \cdot d).
- Y noktası (En üst tepe noktası): Merkeze uzaklığı r’dir. Dönme hızı sağa doğru V, öteleme hızı da sağa doğru V’dir. Aynı yönlü oldukları için toplanırlar:v_Y = V + V = 2V
- X noktası (Düşey eksende merkeze d uzaklıkta): Dönme hızı sağa doğru (v_d = \frac{d}{r}V), öteleme hızı da sağa doğru (V) olduğundan skaler olarak toplanırlar:v_X = V + \frac{d}{r}V = V\left(1 + \frac{d}{r}\right)
- Z noktası (Yatay eksende merkeze d uzaklıkta): Dönme hızı aşağı yönde (v_d = \frac{d}{r}V), öteleme hızı ise yatay sağa doğrudur (V). Hız vektörleri birbirine diktir:v_Z = \sqrt{V^2 + \left(\frac{d}{r}V\right)^2} = V\sqrt{1 + \left(\frac{d}{r}\right)^2}
0 < d < r aralığında \left(1 + \frac{d}{r}\right) > \sqrt{1 + \left(\frac{d}{r}\right)^2} olduğundan hız büyüklükleri sıralaması:
v_Y > v_X > v_Z
Soru 6: Çubuğun Eylemsizlik Momenti
Adım 1 — Değerlerin Formülde Yerine Konması
- Kütle: m = 3\text{ kg}
- Uzunluk: L = 4\text{ m}
I = \frac{1}{3}mL^2 = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (4)^2
I = 1 \cdot 16 = 16\text{ kg}\cdot\text{m}^2
CEVAP:
- 4. Soru: \frac{2}{3}
- 5. Soru: v_Y > v_X > v_Z
- 6. Soru: 16\text{ kg}\cdot\text{m}^2
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:
Dönerek öteleme hareketinde yere göre anlık hız büyüklüğünü bulmanın en pratik yolu, tekerleğin yere temas ettiği anlık dönme merkezine olan kuş uçuşu geometrik uzaklığa bakmaktır. Temas noktasına en uzak olan noktanın yere göre anlık hızı daima en büyüktür.