Dört basamaklı 2A7B doğal sayısı 11 ile tam bölünmekte ve bölüm K olmaktadır.
K sayısının A ile bölümünden kalan B ve bölüm 46 olduğuna göre A-B farkı kaçtır?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
Dört Basamaklı 2A7B Sayısında A - B Farkının Bulunması
KULLANILAN FORMÜLLER VE KURALLAR:
- Bölme Özdeşliği: \text{Bölünen} = (\text{Bölen} \times \text{Bölüm}) + \text{Kalan} ve 0 \le \text{Kalan} < \text{Bölen}
- 11 ile Bölünebilme Kuralı: Bir sayının birler basamağından başlanarak sola doğru +,-,+,- işaretleri verilir. Bu işaretlerle çarpılan basamakların toplamı 11’in katı olmalıdır.
- Basamak Çözümleme: 2A7B = 2000 + 100A + 70 + B = 2070 + 100A + B
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — 11 ile Bölünebilme Kuralını Uygulama
2A7B sayısı 11 ile tam bölündüğüne göre basamakları sağdan sola doğru +,-,+,- şeklinde işaretleyelim:
-2 + A - 7 + B = 11k \quad (k \in \mathbb{Z})
A + B - 9 = 11k
A ve B birer rakam olduğu için 0 \le A+B \le 18 aralığındadır. Bu aralıkta eşitliği sağlayan tek değer k = 0 durumudur:
A + B - 9 = 0 \implies A + B = 9
B = 9 - A
Adım 2 — Bölme Bağıntısını Kurma
Soruda verilen bilgilere göre:
- 2A7B = 11 \times K
- K sayısının A ile bölümünden bölüm 46, kalan B olduğuna göre:
K = 46 \times A + B \quad (\text{Burada } B < A \text{ olmalıdır})
Adım 3 — K Değerini Yerine Yazma ve Sayıyı Çözümleme
K ifadesini birinci denklemde yerine yazalım:
2A7B = 11 \times (46A + B)
2A7B = 506A + 11B
Sol taraftaki 2A7B sayısını basamak değerlerine ayıralım:
2000 + 100A + 70 + B = 506A + 11B
2070 + 100A + B = 506A + 11B
Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri diğer tarafa toplayalım:
2070 = 406A + 10B
Adım 4 — A ve B Değerlerini Bulma
Birinci adımda bulduğumuz B = 9 - A eşitliğini denklemde yerine yazalım:
2070 = 406A + 10(9 - A)
2070 = 406A + 90 - 10A
2070 = 396A + 90
1980 = 396A
A = \frac{1980}{396} = 5
A = 5 olduğuna göre B değerini bulalım:
B = 9 - 5 = 4
Kalan koşulu kontrolü: B < A \implies 4 < 5 şartı sağlanır.
Adım 5 — A - B Farkını Hesaplama
A - B = 5 - 4 = 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E şıkkı (1)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Kalan-Bölen İlişkisi
- Tanım: Bir bölme işleminde kalan her zaman bölenden küçük ve sıfıra eşit veya büyük olmak zorundadır (0 \le Kalan < Bölen).
- Bu problemde: B < A şartı (4 < 5) çözümün doğruluğunu teyit etmiştir.
2. 11 ile Bölünebilme Kuralı
- Tanım: Sayının rakamları birler basamağından itibaren +,-,+,- \dots şeklinde gruplandığında elde edilen cebirsel toplam 11’in tam katı olmalıdır.
- Bu problemde: A+B=9 ilişkisi bu kural sayesinde doğrudan bulunmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kalanın Bölen ile İlişkisini Unutmak
- Yanlış: Bulunan A ve B değerlerinde B \ge A durumunu kontrol etmemek.
- Doğru: Her bölme probleminde B < A eşitsizliğini mutlaka sağlamak.
- Neden yanlış: Kalan, bölene eşit ya da bölenden büyük olamaz; aksi halde bölme işlemi devam eder.
Bu çözümle ilgili aklına takılan bir adım oldu mu, yoksa bölünebilme kuralları ile ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?
basit yolu yok mu
2A7B Probleminde Pratik / Hızlı Çözüm Yolu
KULLANILAN FORMÜL VE PRATİK YAKLAŞIM:
- 11 ile Bölünebilme: A + B = 9
- Basamak Tahmini (Mertebe Analizi): 2A7B \approx 506 \times A bağıntısından yola çıkarak A rakamını doğrudan tahmin etme.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — A + B Toplamını Hızlıca Bulma
2A7B sayısı 11’e bölündüğü için +,-,+,- kuralından:
(B + A) - (7 + 2) = 0 \implies A + B = 9
Adım 2 — Bölme Eşitliğini Yaklaşık Olarak Kurma
Verilenlere göre:
K = 46A + B
2A7B = 11 \times K = 11 \times (46A + B) = 506A + 11B
Adım 3 — Baş Basamaktan (2000’ler) A’yı Tek Hamlede Görme
2A7B sayısı 2000 ile 3000 arasında bir sayıdır (2...).
506 \times A çarpımının 2000’li bir sayı vermesi için A değeri 4 veya 5 olabilir:
- A = 4 olursa: 506 \times 4 = 2024 olur ancak sayının yüzler basamağı A=4 olduğundan sayının 247... olması gerekir (aradaki fark çok büyüktür, 11B bunu karşılayamaz).
- A = 5 olursa: 506 \times 5 = 2530 olur ve sayımız 257B formatına tam oturur.
Adım 4 — B Değerini Bulma ve Doğrulama
A = 5 olduğuna göre Adım 1’deki A + B = 9 eşitliğinden:
B = 9 - 5 = 4
Doğrulama:
506 \times 5 + 11 \times 4 = 2530 + 44 = 2574
Sayı 2574 olup 2A7B (A=5, B=4) şartını tam olarak sağlar.
Adım 5 — A - B Farkını Hesaplama
A - B = 5 - 4 = 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E şıkkı (1)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Sınav Pratiği (Mertebe Yaklaşımı)
- Tanım: Uzun denklem çözmek yerine sayının büyüklüğünü (2000’li sayılar) katsayıyla (506) oranlayarak bilinmeyeni doğrudan sınırlandırma yöntemidir.
- Bu problemde: 506 \times A \approx 2500 ilişkisi A=5 değerini işlem yapmadan görmemizi sağlar.
SIK YAPILAN HATALAR:
Değerleri Rastgele Denemek
- Yanlış: A’ya 1, 2, 3 \dots gibi tüm rakamları sırayla denemek.
- Doğru: Sayının binler basamağının 2 olduğunu görüp doğrudan 506 \times A \approx 2000 mertebesine odaklanmak.
- Neden yanlış: Tek tek denemek sınavda gereksiz zaman kaybettirir.
Bu pratik yaklaşım ve mertebe tahmini mantığı kafana yattı mı, benzer bir soru üzerinde birlikte deneyelim mi?