K sayısI iki asalın çarpımı biçiminde yazılan bir say olup
•
22K sayısinın üç asal böleni
wardır.
Buna göre, iki basamaklı K sayısinın alacağı değerler
pplamı kaçtır?1 88
B) 98
E) 162
c) 142
D) 148
K Sayısının İki Asalın Çarpımı Biçiminde Yazılması ve Asal Bölenler
KULLANILAN FORMÜL VE İLKELER:
- Bir sayının asal çarpanları, o sayının üslü ifadesindeki tabanlardır.
- K = p \times q (p ve q farklı asal sayılar)
- 22K = 2 \times 11 \times K
- 28K = 2^2 \times 7 \times K
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — K sayısının yapısını belirleme
K sayısı, iki farklı asal sayının çarpımı şeklinde yazılabilen iki basamaklı bir sayıdır. Bu durumda K = p \times q diyebiliriz, burada p ve q farklı asal sayılardır.
Adım 2 — 22K sayısının asal bölenlerini inceleme
22K = 2 \times 11 \times K.
22K sayısının üç asal böleni olduğu belirtilmiş.
Eğer K = p \times q ise, 22K = 2 \times 11 \times p \times q.
22K sayısının asal bölenleri \{2, 11, p, q\} kümesinin elemanlarıdır. Bu kümede sadece üç farklı eleman olmalıdır.
- Durum 1: p=2 veya q=2 (yani 2, K’nın çarpanlarından biri)
K = 2 \times q olsun (q, 2’den farklı bir asal sayı).
Bu durumda 22K = 2 \times 11 \times 2 \times q = 2^2 \times 11 \times q.
Asal bölenler \{2, 11, q\} olur. Bu kümede 3 eleman vardır. Bu durum şartı sağlar.
q asal sayısı 11 olamaz, aksi takdirde asal bölenler \{2, 11\} olurdu (2 elemanlı). - Durum 2: p=11 veya q=11 (yani 11, K’nın çarpanlarından biri)
K = 11 \times p olsun (p, 11’den farklı bir asal sayı).
Bu durumda 22K = 2 \times 11 \times 11 \times p = 2 \times 11^2 \times p.
Asal bölenler \{2, 11, p\} olur. Bu kümede 3 eleman vardır. Bu durum şartı sağlar.
p asal sayısı 2 olamaz, aksi takdirde asal bölenler \{2, 11\} olurdu (2 elemanlı). - Durum 3: p \ne 2 ve p \ne 11 ve q \ne 2 ve q \ne 11
Bu durumda 22K = 2 \times 11 \times p \times q olur. Asal bölenler \{2, 11, p, q\} şeklinde 4 elemanlı olurdu. Bu durum şartı sağlamaz.
Yani, K sayısının çarpanlarından biri kesinlikle 2 veya 11’dir. Ancak ikisi birden olamaz, çünkü o zaman K=2 \times 11=22 olur ve 22K = 2 \times 11 \times 2 \times 11 = 2^2 \times 11^2 ve asal bölenleri \{2, 11\} olurdu (2 elemanlı). Bu da 3 asal bölen olma şartına uymaz.
Dolayısıyla, K sayısının asal çarpanlarından sadece biri 2 veya 11’dir.
Adım 3 — 28K sayısının asal bölenlerini inceleme
28K = 2^2 \times 7 \times K.
28K sayısının dört asal böleni olduğu belirtilmiş.
28K sayısının asal bölenleri \{2, 7, p, q\} kümesinin elemanlarıdır. Bu kümede 4 eleman olmalıdır.
-
Durum 1’deki K için (K = 2 \times q, q \ne 11):
28K = 2^2 \times 7 \times 2 \times q = 2^3 \times 7 \times q.
Asal bölenler \{2, 7, q\} olur. Bu kümede 3 eleman vardır.
Ancak 28K için 4 asal bölen olması isteniyor. Bu durum sadece q asal sayısının 7’den farklı olması durumunda 3 elemanlıdır. Eğer q asal sayısı 7 olsaydı, \{2,7\} 2 elemanlı olurdu ki bu da 3 asal bölen olma durumuna uymaz.
Demek ki, K=2 \times q durumunda q asalının 7’ye eşit olmaması gerekir.
Bu durumda q sayısının 2 ve 7’den farklı olması gerekir. Aynı zamanda q \neq 11 idi.
Yani, K=2q durumunda \{2, 7, q\} kümesi 3 elemanlı olduğu için bu durum 28K sayısının 4 asal böleni olma şartını sağlamaz.
Bu bize şunu gösterir: K’nın çarpanları 2 ve q ise, q değeri ne olursa olsun 28K’nın çarpanları \{2, 7, q\} şeklinde 3 tane olacaktır (eğer q \ne 7). Eğer q=7 olursa 28K’nın çarpanları \{2, 7\} şeklinde 2 tane olacaktır. Her iki durumda da 4 asal bölen şartı sağlanmaz.
Sonuç: K’nın çarpanlarından biri 2 olamaz. -
Durum 2’deki K için (K = 11 \times p, p \ne 2):
28K = 2^2 \times 7 \times 11 \times p.
Asal bölenler \{2, 7, 11, p\} olur. Bu kümede 4 eleman vardır.
Bu durumun sağlanabilmesi için p asalının 2, 7 ve 11’den farklı olması gerekir.
Bu durum 28K için 4 asal bölen olma şartını sağlar.
Demek ki, K sayısının asal çarpanlarından biri kesinlikle 11’dir ve diğeri 2, 7, 11’den farklı bir asaldır.
Yani, K = 11 \times p ve p \notin \{2, 7, 11\}.
Adım 4 — K için olası değerleri bulma
K = 11 \times p ve p \notin \{2, 7, 11\}.
K iki basamaklı bir sayı olmalıdır.
Asal p değerlerini deneyelim:
- p = 3 \Rightarrow K = 11 \times 3 = 33 (İki basamaklı, p \notin \{2, 7, 11\} şartı sağlanır.)
22K = 2 \times 11 \times 33 = 2 \times 11 \times 3 \times 11 = 2 \times 3 \times 11^2. Asal bölenler \{2, 3, 11\} (3 tane). Şart sağlanır.
28K = 2^2 \times 7 \times 33 = 2^2 \times 7 \times 3 \times 11. Asal bölenler \{2, 3, 7, 11\} (4 tane). Şart sağlanır. - p = 5 \Rightarrow K = 11 \times 5 = 55 (İki basamaklı, p \notin \{2, 7, 11\} şartı sağlanır.)
22K = 2 \times 11 \times 55 = 2 \times 11 \times 5 \times 11 = 2 \times 5 \times 11^2. Asal bölenler \{2, 5, 11\} (3 tane). Şart sağlanır.
28K = 2^2 \times 7 \times 55 = 2^2 \times 7 \times 5 \times 11. Asal bölenler \{2, 5, 7, 11\} (4 tane). Şart sağlanır. - p = 13 \Rightarrow K = 11 \times 13 = 143 (Üç basamaklı, bu nedenle elenir.)
- p = 17 \Rightarrow K = 11 \times 17 = 187 (Üç basamaklı, bu nedenle elenir.)
Görüldüğü gibi, K’nın alabileceği iki basamaklı değerler sadece 33 ve 55’tir.
Adım 5 — K değerlerinin toplamını bulma
K’nın alabileceği değerler 33 ve 55’tir.
Toplamları 33 + 55 = 88’dir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 88
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Asal Çarpanlar
- Tanım: Bir sayıyı kalansız bölen asal sayılar. Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali tek ve benzersizdir.
- Bu problemde: K, 22K ve 28K sayılarının asal çarpanlarını belirleyerek koşulları sağlayan asal çarpan kümeleri oluşturuldu.
2. İki Basamaklı Sayılar
- Tanım: 10 ile 99 arasındaki tam sayılar.
- Bu problemde: K sayısının iki basamaklı olma koşulu, olası değerlerin kapsamını daralttı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Asal Bölen Sayısını Yanlış Yorumlamak
- Yanlış: K = 2 \times 11 = 22 alınırsa, 22K = 22 \times 22 = 2^2 \times 11^2. Asal bölenler \{2, 11\} (2 tane).
- Doğru: Asal bölen sayısını hesaplarken, tekrarlayan asal çarpanlar bir kez sayılır. 22K’nın 3 asal böleni olması gerekiyordu, bu nedenle K’nın çarpanları 2 ve 11 aynı anda olamaz.
- Yanlış olmasının nedeni: K’nın iki asalın çarpımı olmasının yanı sıra, 22K ve 28K’nın asal bölen sayılarının özel koşulları K’nın çarpanları hakkında daha spesifik bilgi verir.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir asal çarpan sorusu çözmemi ister misin?