K Noktasında Verilen Bilgilerle |CP| + |HD| Toplamının Bulunması
Önemli Noktalar
- K noktası birim çember üzerindedir ve KP ⊥ CA, KH ⊥ OD doğruları verilmiştir.
- ∠OKH = 40° olarak verilmiştir.
- Amacımız |CP| + |HD| uzunluklarının toplamını: |CP| + |HD| bulmaktır.
- Seçenekler trigonometrik ifadeler içermektedir (cos220° ve sin220°).
İçindekiler
- Problem Analizi ve Geometrik İlişkiler
- |CP| ve |HD| Uzunluklarının Trigonometrik İfade ile Çözümü
- Karşılaştırma Tablosu: Sorunun Çözüm Yöntemleri
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Problem Analizi ve Geometrik İlişkiler
Birim çemberde (yarıçap = 1) K noktası üzerindeyiz ve şu diklikler var:
- KP ⊥ CA: P noktası CA doğrusuna dik inmediği için P ile C ve A arasında ilişki kurulacak.
- KH ⊥ OD: H, OD doğrusuna K’dan indirilen dikme noktasını gösterir.
Verilen açı m(OKH)=40°, yani K — H — O açısıdır. Bu açıdan trigonometrik bağıntılar çıkabilir.
Kodlama ve şekil analizinden önemli noktalar:
- O merkez, OD dikey eksen, CA yatay eksen.
- P, KP dikmesi CA’ya indirilmiş.
- H, KH dikmesi OD’ye indirilmiş.
- K noktası birim çemberde olduğundan KO=1.
Amaç: |CP| + |HD| uzunluklarını bulmak.
|CP| ve |HD| Uzunluklarının Trigonometrik İfade ile Çözümü
1. Açı ve Koordinatlar
OKH üçgeni içinde, m(OKH) = 40°. KO yarıçap olup 1 birim. K noktası birim çember üzerinde.
KD ve KP gibi dikmelerle mesafeleri hesaplarken trigonometriden faydalanırız.
2. K Noktasının Koordinatları
Birim çemberde:
Burada \theta açısı, OD ekseni referans alınarak belirleniyor. OD dikey eksen olduğundan, yukarı yöndür:
- \angle OKH = 40^\circ , bu açı K noktasının OD ekseni ile yaptığı açıdır.
- K noktası OD’den 40° sapmış, bu yüzden \theta = 220^\circ olarak düşünülebilir (180°+40°, çünkü K noktası üçüncü dörtgendedir).
3. |CP| ve |HD| Uzunlukları
- KP ⊥ CA olduğundan P noktasının y koordinatı 0’dır (CA yatay eksen).
- P noktası K’nın CA doğrusuna (x ekseni) dik izdüşümüdür.
- O halde P = (\cos 220°, 0) olur.
- |CP|, P ve C noktaları arasındaki uzaklıktır. C noktası (-1, 0) birim çemberin x ekseni üzerindeki sol noktasıdır.
|CP| mesafesi:
- KH ⊥ OD olduğundan H noktası K’nın OD eksenine (y ekseni) izdüşümüdür.
- H noktası (0, \sin 220^\circ) olur.
- D noktası OD doğrusu üzerindedir ve D noktası (0, -1) olur (birim çemberin alt noktası).
|HD| mesafesi:
4. Toplamlar
Karşılaştırma Tablosu: Çözüm Yöntemleri
| Yöntem | Özet | Sonuç |
|---|---|---|
| Koordinat ve Trigonometri | K noktasının açısını ve izdüşümleri kullan | 2 + \cos 220^\circ + \sin 220^\circ |
| Geometrik Yaklaşım | Dik üçgenler oluşturup uzunlukları bileşenlere ayırma | Aynı sonuç |
| Alternatif Formüller | İlgili diklikleri kullanarak uzunluk hesaplama | Aynı sonuç |
Özet Tablo
| Unsur | Değer |
|---|---|
| K noktası açısı | 220° (OD referanslı) |
| CP | |
| HD | |
| Toplam | 2 + \cos 220^\circ + \sin 220^\circ |
| Doğru cevap şıkkı | D |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden K’nın açısı 220° olarak alındı?
K noktası OD dikey ekseninden 40° sapmış ve birim çember üzerinde 3. bölgede; bu nedenle referansla 180°+40° yani 220° kabul edilir.
2. Dikme noktalarının koordinat hesaplamalarına neden ihtiyaç var?
Çünkü |CP| ve |HD| uzunlukları, izdüşüm noktalarının x veya y koordinatları farkıyla bulunur; bu nedenle koordinatlar gereklidir.
3. Sonuç seçeneklerden nasıl bulunur?
Toplama formül atanarak seçeneklerde karşılaştırılır; 2 + \cos 220^\circ + \sin 220^\circ ifadesi D şıkkında vardır.
Sonraki Adımlar
Başka hangi trigonometrik problemler için bu tür izdüşüm ve koordinat kullanımı etkili olur? Çemberde açı ve uzunluk ilişkileri üzerine bir başka soru ister misiniz?
Buna göre, |CP| + |HD| toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
Temel Noktalar
- K noktası birim çember üzerindedir ve koordinatları (x_K,y_K) ile ifade edilir.
- P ve H, sırasıyla x ve y eksenlerine indirilen dikmelerin ayaklarıdır: P=(x_K,0), H=(0,y_K).
- \angle OKH=40^\circ ve K üçüncü bölgede olduğu için x_K=-\cos40^\circ,\;y_K=-\sin40^\circ elde edilir.
Doğrudan Cevap
CP ve HD uzunlukları
CP=1+x_K,\;HD=1+y_K olduğundan
Doğru seçenek D’dir.
İçindekiler
Derin İnceleme
- Koordinatlar ve Projeksiyon
- Birim çemberde K(x_K,y_K) için KP\perp CA ve KH\perp OD olduğundan
P=(x_K,0), H=(0,y_K) çıkar.
- Birim çemberde K(x_K,y_K) için KP\perp CA ve KH\perp OD olduğundan
- Açı Bilgisi
- $\angle OKH=40^\circ$’de birinci ışın K\to O=(-x_K,-y_K), ikinci ışın K\to H=(-x_K,0).
- Bu iki vektör arasındaki kosinüs:\cos40^\circ \;=\;\frac{(-x_K,-y_K)\cdot(-x_K,0)}{\sqrt{x_K^2+y_K^2}\,\sqrt{x_K^2}} \;=\;\frac{x_K^2}{|x_K|}\;=\;|x_K|.
- Üçüncü bölgede x_K<0 olduğundan x_K=-\cos40^\circ.
- Birim çemberde y_K<0 olduğu için y_K=-\sin40^\circ.
- CP ve HD
- CP=1+x_K=1-\cos40^\circ,
- HD=1+y_K=1-\sin40^\circ.
- Toplam|CP|+|HD| \;=\;2-(\cos40^\circ+\sin40^\circ) \;=\;2+\cos220^\circ+\sin220^\circ.
Karşılaştırma Tablosu
| Uzunluk | Formül (40° cinsinden) | Formül (220° cinsinden) |
|---|---|---|
| CP | 1 - \cos40^\circ | 1 + \cos220^\circ |
| HD | 1 - \sin40^\circ | 1 + \sin220^\circ |
Özet Tablosu
| Değişken | Değer |
|---|---|
| x_K | -\cos40^\circ |
| y_K | -\sin40^\circ |
| CP | 1 + x_K = 1 - \cos40^\circ |
| HD | 1 + y_K = 1 - \sin40^\circ |
| CP+HD | 2 - (\cos40^\circ + \sin40^\circ) |
| Seçenek | D) 2 + \cos220^\circ + \sin220^\circ |
SSS
- Neden x_K<0 ve y_K<0 alındı?
Şekilde K, üçüncü bölgede (x ve y negatif) yer aldığı için işaretler öyle seçilir. - \angle OKH nasıl formüle dönüştü?
Açı kosinüsü, iki vektörün noktasal çarpımının büyüklüklerinin çarpımına oranıdır. - 220° neden kullanıldı?
\cos(180°+40°)=-\cos40°,\;\sin(180°+40°)=-\sin40° bağıntıları, ifadenin seçeneklerle uyumlu hale gelmesini sağlar.
Pratik yapmak ister misiniz? Benzer bir soruyu adım adım çözelim mi? @Meral_Bektas