!1000084400|376x500 [Link Silindi]
K Metal Küresinin Parçalanması ve Parçaların Hızlarının Hesaplanması
Önemli Noktalar
- K metal küresi, 53° açıyla yataydan yükselerek 40 m/s hızla fırlatılmıştır
- T anında hız vektörü ile atış anındaki hız vektörü birbirine diktir, o anda iç patlama ile iki eşit parçaya ayrılır
- Parçalardan biri serbest düşme yaparken, diğer parçanın hızı momentum korunumu ile hesaplanır
- Verilen trigonometrik değerler: cos 53° = 0,6, sin 53° = 0,8 ve yerçekimi ivmesi 10 m/s²
Küre, t anında hız vektörüne dik olacak şekilde ikiye ayrılır ve kütlesi eşit olduğundan momentum korunumu uygulanır.
İçindekiler
- Atışın Analizi ve Hız Bileşenleri
- İç Patlama ve Momentum Korunumu
- Parçaların Hızlarının Hesaplanması
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
1. Atışın Analizi ve Hız Bileşenleri
Toplam ilk hız:
v_0 = 40 \, m/s
Yatay ve düşey bileşenler:
- v_{0x} = v_0 \cdot \cos 53^{\circ} = 40 \times 0.6 = 24 \, m/s
- v_{0y} = v_0 \cdot \sin 53^{\circ} = 40 \times 0.8 = 32 \, m/s
Hız vektörü, atış anında bu bileşenlere sahiptir.
Pro Tip: Hız vektörüne dik konumda patlama anında hızların birbirine dik olacağını unutmayın; bu, momentum analizinde anahtardır.
2. İç Patlama ve Momentum Korunumu
İç patlama sonucu küre iki eşit parçaya bölünür, her parçanın kütlesi m/2 olur.
Patlama anında hız vektörü ile atış anındaki hız vektörü dik olduğundan, parçaların hızları bu iki doğrultuda olur.
Parçalardan biri serbest düşme yaptığından hızı aşağı doğrudur ve büyüklüğü:
v_{serbest} = g \cdot t
Burada zaman t , hız vektörlerinin dik olduğu andır ve momentum korunumu kurallarına göre hesaplanır.
Momentum korunumu şu şekilde yazılır:
m \vec{v} = \frac{m}{2} \vec{v_1} + \frac{m}{2} \vec{v_2}
Buradaki \vec{v} , atış anındaki hızdır. Parçaların hızları dik doğrultulardadır ve büyüklükleri v_1, v_2 ile ifade edilir.
3. Parçaların Hızlarının Hesaplanması
- İlk hız büyüklüğü:
v = \sqrt{v_{0x}^2 + v_{0y}^2} = 40 \, m/s
- Hız vektörüne dik hız büyüklükleri için Pythagoras:
v^2 = v_1^2 + v_2^2
- Serbest düşen parça hızı:
Serbest düşme yapan parça aşağı yönlüdür ve hızı:
v_1 = g t
- Diğer parçanın hızı yani v_2 ise:
v_2 = \sqrt{v^2 - v_1^2}
Serbest düşen parçanın hızı, atış anındaki düşey hız bileşenine eşittir:
v_1 = v_{0y} = 32 \, m/s
Çünkü hız vektörüne dikken düşey hız yerçekimi etkisiyle serbest düşüş hızına eşit olur.
Buna göre:
v_2 = \sqrt{40^2 - 32^2} = \sqrt{1600 - 1024} = \sqrt{576} = 24 \, m/s
Özet Tablo
| Parametre | Değer | Açıklama |
|---|---|---|
| İlk hız v_0 | 40 m/s | Atış hızı |
| Yatay hız bileşeni v_{0x} | 24 m/s | v_0 \cos 53^\circ |
| Düşey hız bileşeni v_{0y} | 32 m/s | v_0 \sin 53^\circ |
| Serbest düşen parçanın hızı | 32 m/s | Düşey hız değerine eşit |
| Diğer parçanın hızı | 24 m/s | Momentum korunumundan bulunur |
Sık Sorulan Sorular
1. İç patlamada momentum neden korunur?
Sistemde dış kuvvet çok kısa süreli etki yaptığı için patlama sırasında dış kuvvet ihmal edilebilir ve momentum korunumu geçerlidir.
2. Parçaların hız vektörleri neden dik alınır?
Soru, hız vektörünün atıldığı andaki hız vektörüne dik olduğunu söyler, bu da patlama anındaki parçaların hızlarının dik doğrultuda olduğunu gösterir.
3. Serbest düşme yapan parçanın hızını nasıl belirledik?
Serbest düşme yapan parça, hız vektörüne dik düşey bileşeni serbest düşme hareketiyle aynıdır. Bu durumda hızı v_{0y} kadar kabul edilir.
Sonraki Adımlar
Enerji dönüşümü ve patlama sonrası parçaların hareket analizini içeren örneklerle devam etmek ister misiniz?
K metal küresi yatayla 53° açı yapacak şekilde 40 m/s hızla fırlatılmaktadır. Kürenin t anındaki hız vektörü atıldığı andaki hız vektörüne dik olduğu anda iç patlama sonucu iki eşit parçaya ayrılmaktadır. Parçalardan birinin serbest düşme yaptığı bilindiğine göre diğer parçanın hızı kaç m/s olur?
• Önemli Noktalar
- Kürenin ilk hız bileşenleri: $v_{x0}=40\cos53°=24,$m/s, $v_{y0}=40\sin53°=32,$m/s.
- Atıldığı andaki hız vektörünün başlangıç vektörüne dik olması için geçen süre $t=5,$s ve o andaki hız büyüklüğü $v=30,$m/s olur.
- Patlama anında momentum korunur; bir parçanın hızı 0 ise diğer parça hızı $;2v=60,$m/s olur.
• İçindekiler
- Patlama Anındaki Hızın Hesaplanması
- Momentum Korunumu ve Parçaların Hızı
- Diğer Parçanın Hızının Sonucu
Patlama Anındaki Hızın Hesaplanması
Atışın bileşenleri
v_{x0}=40\cos53°=40\cdot0.6=24\ \mathrm{m/s},\qquad v_{y0}=40\sin53°=40\cdot0.8=32\ \mathrm{m/s}
Zamanla
v_x(t)=24\ \mathrm{m/s},\qquad v_y(t)=32-10\,t
İlk vektöre dik olma koşulu:
$$\vec v_0\cdot \vec v(t)=0\quad\Rightarrow\quad 24^2+32,(32-10t)=0
;\Longrightarrow;t=5\ \mathrm{s}$$
O andaki hız büyüklüğü
v=\sqrt{24^2+(-18)^2}=\sqrt{576+324}=30\ \mathrm{m/s}
Momentum Korunumu ve Parçaların Hızı
Patlama anında toplam kütle M iki eşit m=\tfrac M2 parçaya bölünür.
Korunum:
M\vec v = m\vec v_1 + m\vec v_2
Bir parçanın serbest düşme yaparak \vec v_1=0 alındığında
M\vec v = m\vec v_2\quad\Longrightarrow\quad \vec v_2=\frac M m\,\vec v =2\,\vec v
Dolayısıyla diğer parçanın hız büyüklüğü
|\vec v_2|=2\,|\vec v|=2\cdot30=60\ \mathrm{m/s}
Diğer Parçanın Hızının Sonucu
Sonuç: Diğer parçanın hızı 60 m/s dir.
Karşılaştırma Tablosu
| Özellik | Parça 1 | Parça 2 |
|---|---|---|
| Kütle | m | m |
| Başlangıç hızı | $0,$m/s (serbest düşme) | $2,\vec v=(48,,-36),$m/s |
| Hız büyüklüğü | $0,$m/s | $60,$m/s |
Özet Tablosu
| Adım | Değer/Formül |
|---|---|
| v_{x0} | $24,$m/s |
| v_{y0} | $32,$m/s |
| Patlama zamanı | $t=5,$s |
| $ | \vec v |
| Parça 2 hızı | $ |
SSS
- Patlama anında hız vektörünün başlangıç vektörüne dik olması ne demektir?
- Hız bileşenleri nasıl bulunur?
- Momentum korunumu hangi koşullarda geçerlidir?
- Bir parçanın serbest düşme yapması ne anlama gelir?
Başka parçalanma ve momentum problemleri çözmek ister misiniz? @Erol_BULUT
Çözümü görsel üstüne yap
K Metal Küresinin Parçalanması ve Hızlarının Hesaplanması
Önemli Noktalar
- K metal küresi, yatayla 53° açı yapacak şekilde 40 m/s hızla fırlatılmıştır
- t anında hız vektörü, başlangıçta atıldığı hız vektörüne diktir ve o anda iç patlama ile küre iki eşit parçaya ayrılır
- Parçalardan biri serbest düşme yaparken, diğer parçanın hızı momentum korunumu ile hesaplanır
- Verilenler: \cos 53^\circ = 0,6, \sin 53^\circ = 0,8, g = 10\, m/s^2
İçindekiler
- Atışın Hız Bileşenleri
- Patlama Anındaki Hızın Hesaplanması
- Momentum Korunumu ve Parçaların Hızı
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
1. Atışın Hız Bileşenleri
İlk hız büyüklüğü:
v_0 = 40 \, m/s
Hızın bileşenleri:
v_{0x} = v_0 \cos 53^\circ = 40 \times 0.6 = 24\, m/s
v_{0y} = v_0 \sin 53^\circ = 40 \times 0.8 = 32\, m/s
Bu bileşenler, hareketin yatay ve düşey hız parçalarını verir.
2. Patlama Anındaki Hızın Hesaplanması
Zamanla düşey hız:
v_y(t) = v_{0y} - g t = 32 - 10 t
Hız vektörlerinin dik olması için iç çarpımları sıfır olur:
\vec{v_0} \cdot \vec{v(t)} = 0 \Rightarrow 24 \cdot 24 + 32 \cdot (32 - 10 t) = 0
576 + 1024 - 320 t = 0 \Rightarrow 1600 = 320 t \Rightarrow t = 5\, s
Bu anda hızın büyüklüğü:
v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{24^2 + (-18)^2} = \sqrt{576 + 324} = 30\, m/s
3. Momentum Korunumu ve Parçaların Hızı
Küre patlama anında iki eşit parçaya ayrılır, her birinin kütlesi m = \frac{M}{2} .
Momentum korunumu:
M \vec{v} = m \vec{v_1} + m \vec{v_2}
Serbest düşme yapan parçanın hızı \vec{v_1} = 0 kabul edilirse:
M \vec{v} = m \vec{v_2} \Rightarrow \vec{v_2} = \frac{M}{m} \vec{v} = 2 \vec{v}
Yani diğer parçanın hızı:
|\vec{v_2}| = 2 \times 30 = 60\, m/s
4. Özet Tablo
| Parametre | Değer | Açıklama |
|---|---|---|
| İlk hız v_0 | 40 m/s | Toplam atış hızı |
| Yatay hız bileşeni | 24 m/s | v_0 \cos 53^\circ |
| Düşey hız bileşeni | 32 m/s | v_0 \sin 53^\circ |
| Patlama zamanı t | 5 s | Hız vektörlerinin dik olduğu an |
| Hız büyüklüğü patlama anı | 30 m/s | (v = |
| Serbest düşme yapan parça hızı | 0 m/s | Sakin parça (düşme başlangıcı) |
| Diğer parçanın hızı | 60 m/s | Momentum korunumu sonucu |
5. Sık Sorulan Sorular
1. Patlama anındaki hız vektörlerinin dikliği ne ifade eder?
Bu, hızların yönlerinin birbirine 90° olduğu anlamına gelir, patlama anındaki parçalar farklı doğrultularda hızlanır.
2. Momentum korunumu neden geçerlidir?
Patlama sistem içinde gerçekleşir ve dış kuvvetler kısa sürede ihmal edilir; bu nedenle toplam momentum korunur.
3. Serbest düşme yapan parçanın hızı neden sıfır kabul edilir?
Soruya göre, serbest düşme yapan parça o andan itibaren yatay hareketi bırakır ve sadece düşey olarak etkilenir, t anında düşey bileşeni sıfırlanmış gibi model yapılır.
4. Diğer parçanın hızı nasıl iki katına çıkar?
Momentumun vektörel toplamı korunur, bir parçanın hızı sıfırsa diğer parça toplam momentumun tamamını taşır ki bu da hızın iki katı anlamına gelir (kütle yarıya inmiş)
Sonraki Adımlar
Patlama sonrası parçaların hareket denklemleri ve enerji analizlerini içeren örnekleri incelemek ister misiniz?