K , m ve n pozitif tam sayılar olmak üzere

Question Answer
1

k , m ve n pozitif tam sayılar olmak üzere
A < 1000
A = 3k + 1 = 4m + 2 = 5n + 3
olduğuna göre, A en çok kaçtır?
A) 998
B) 968
C) 962
D) 992
E) 958

k , m ve n pozitif tam sayılar olmak üzere A 1000 A = 3k + 1 = 4m + 2 = 5n + 3 olduğuna...
k , m ve n pozitif tam sayılar olmak üzere A 1000 A = 3k + 1 = 4m + 2 = 5n + 3 olduğuna...1024×525 95.8 KB

2

EBOB-EKOK Yardımıyla Kalan Problemi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bölen ile kalan arasındaki fark sabit (d) olduğunda:

A = a \cdot x + r_1 = b \cdot y + r_2 = c \cdot z + r_3 \implies A + d = \text{EKOK}(a, b, c) \cdot t
\text{Burada } d = a - r_1 = b - r_2 = c - r_3 \text{ ve } t \in \mathbb{Z}^+

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Bölen ve Kalanlar Arasındaki Farkı Belirleme
Verilen eşitlikteki bölen ve kalan ilişkisini inceleyelim:

  • 3 - 1 = 2
  • 4 - 2 = 2
  • 5 - 3 = 2

Tüm ifadelerde bölen ile kalan arasındaki fark 2’dir. Eşitliğin her bir terimine 2 ekleyelim:

A + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1)
A + 2 = 4m + 2 + 2 = 4m + 4 = 4(m + 1)
A + 2 = 5n + 3 + 2 = 5n + 5 = 5(n + 1)

Bu durumda A + 2 sayısı 3, 4 ve 5 sayılarının tam bir katı olmak zorundadır.

Adım 2 — EKOK Hesabı Yapma
3, 4 ve 5 sayıları aralarında asal olduğundan en küçük ortak katları çarpımlarına eşittir:

\text{EKOK}(3, 4, 5) = 3 \times 4 \times 5 = 60

Buradan:

A + 2 = 60t \quad (t \in \mathbb{Z}^+)
A = 60t - 2

Adım 3 — Koşula Uygun En Büyük Değeri Bulma
Soruda A < 1000 koşulu verilmiştir. A’nın en büyük değerini bulmak için eşitsizliği çözelim:

60t - 2 < 1000
60t < 1002
t < 16{,}7

t bir pozitif tam sayı olduğundan seçilebilecek en büyük değer t = 16’dır.

Değeri yerine yazalım:

A = 60 \times 16 - 2
A = 960 - 2 = 958

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E) 958
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • EKOK (En Küçük Ortak Kat): İki ya da daha fazla tam sayının ortak katlarının en küçüğüdür.
  • Kalan Tamamlama: Bölen ile kalan arasındaki fark eşit olduğunda, bu fark sayıya eklenerek ifade tam kat haline getirilir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Eşitliğin her tarafına 2 ekledikten sonra A sayısını bulurken 960’a 2 ekleyip 962 bulmak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: A + 2 = 960 olduğu için 2 sayısını karşıya çıkarma olarak geçirip A = 960 - 2 = 958 olarak hesaplamak.

Farklı kalanların verildiği durumlarda uygulanan çözüm yöntemini de pekiştirmek ister misin?