Tek ve Çift Sayılar ile Ondalık Basamak Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir ürünün toplam tutarı ile ödenen miktar arasındaki fark para üstünü verir. Adet fiyatı 23{,}75 = \frac{95}{4}\text{ TL} olduğundan, toplam tutarın virgülden sonraki kısmı satın alınan ürün adedinin 4 ile bölümünden kalanına göre belirlenir. Buradan adetlerin tek veya çift olma durumları tespit edilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Fiyatın Kesir Değerinin ve Kalan Analizinin Belirlenmesi
Setin birim fiyatı 23{,}75\text{ TL} = 23\text{ TL} + 0{,}75\text{ TL} = 23 + \frac{3}{4}\text{ TL}'dir. Müşteriler 200\text{ TL} tam para verdiklerinden, para üstünün kuruş kısmı ile ödenen toplam tutarın kuruş kısmının toplamı 1{,}00\text{ TL} (veya tam sayı) olmalıdır:
\text{Toplam Tutar} = \text{Adet} \times 23{,}75
- k adet alan müşteri: Para üstü a{,}50\text{ TL} ise harcanan tutarın kuruş kısmı da 0{,}50\text{ TL}'dir. k \times 0{,}75 ifadesinin virgülden sonraki kısmının 0{,}50 olması için k, 4’ün katından 2 fazla (k \equiv 2 \pmod 4) olmalıdır. Dolayısıyla k çifttir.
- m adet alan müşteri: Para üstü b{,}00\text{ TL} (tam sayı) ise harcanan tutar da tam sayıdır. m \times 0{,}75 ifadesinin tam sayı olması için m, 4’ün tam katı (m \equiv 0 \pmod 4) olmalıdır. Dolayısıyla m çifttir.
- n adet alan müşteri: Para üstü c{,}25\text{ TL} ise harcanan tutarın kuruş kısmı 1{,}00 - 0{,}25 = 0{,}75\text{ TL}'dir. n \times 0{,}75 ifadesinin virgülden sonra 0{,}75 getirmesi için n, 4 ile bölündüğünde 1 kalanını vermelidir (n \equiv 1 \pmod 4). Dolayısıyla n tektir.
Adım 2 — Seçeneklerin Tek/Çift Durumlarının İncelenmesi
Bulunan pariteler: k = \text{Çift}, m = \text{Çift}, n = \text{Tek}.
- A) (n + m) \cdot k = (\text{Tek} + \text{Çift}) \cdot \text{Çift} = \text{Tek} \cdot \text{Çift} = \text{Çift}
- B) n \cdot m + k = (\text{Tek} \cdot \text{Çift}) + \text{Çift} = \text{Çift} + \text{Çift} = \text{Çift}
- C) (n + k) \cdot n = (\text{Tek} + \text{Çift}) \cdot \text{Tek} = \text{Tek} \cdot \text{Tek} = \mathbf{\text{Tek}}
- D) (m + k) \cdot m = (\text{Çift} + \text{Çift}) \cdot \text{Çift} = \text{Çift}
- E) (n + k) \cdot m = (\text{Tek} + \text{Çift}) \cdot \text{Çift} = \text{Çift}
CEVAP (5. SORU): C) (n + k) \cdot n
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: 0{,}75 = \frac{3}{4} olduğundan; bir tam sayının 0,75 ile çarpımının virgülden sonraki kısmı yalnızca sayının mod 4’teki değerine bağlıdır. Bu pratik yöntem işlem hamallığını önler.
Mutlak Değer Eşitsizliği ve Sayı Basamakları (Model Sayı)
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: ABCDE sayısında |A - B| > |B - C| > |C - D| > |D - E| \ge 1 eşitsizliğinde ardışık farklar birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğundan en küçük farklar sırasıyla en az 4, 3, 2 ve 1 olmak zorundadır.
ÇÖZÜM VE ÖNCÜL ANALİZİ
Farklar kümesi en az \{4, 3, 2, 1\} olmalıdır.
-
I. Öncül (En büyük model sayının rakamları toplamı 35’tir):
En büyük sayı için A = 9 seçilir. B’yi en büyük yapmak için |9 - B| \ge 4 \implies B = 5 alınır.
Fark zinciri mecburen 4, 3, 2, 1 olur:
- |9 - 5| = 4
- |5 - C| = 3 \implies C = 8 (büyük olması için)
- |8 - D| = 2 \implies D = 6
- |6 - E| = 1 \implies E = 7
Oluşan en büyük sayı 95867 olup rakamları birbirinden farklıdır. Rakamları toplamı: 9 + 5 + 8 + 6 + 7 = 35’tir. (I. Öncül DOĞRU)
-
II. Öncül (En büyük model sayı 95243’tür):
95867 sayısı 95243’ten daha büyük ve kuralı sağladığından bu ifade yanlıştır. (II. Öncül YANLIŞ)
-
III. Öncül (En küçük model sayının rakamları toplamı 15’tir):
En küçük 5 basamaklı sayı için A = 1 seçilir. B’nin en küçük değeri |1 - B| \ge 4 \implies B = 5 olur.
- |1 - 5| = 4
- |5 - C| = 3 \implies C = 2 (en küçük olması için)
- |2 - D| = 2 \implies D = 4 (D=0 için E=1 olurdu fakat rakamlar farklı olamaz)
- |4 - E| = 1 \implies E = 3 (E=5 kullanıldığı için 3 seçilir)
Oluşan en küçük model sayı 15243’tür. Rakamları toplamı: 1 + 5 + 2 + 4 + 3 = 15’tir. (III. Öncül DOĞRU)
CEVAP (3. SORU): D) I ve III
