ve
k bir pozitif gerçel sayı olmak üzere,
2x2
- kx-1 =0
denkleminin kökleri farkı 2 olduğuna göre, k kaçtır?
(A)1
B) 2
c) 2
D) 2/2
dent
E) 3 Bur
2x^2 + kx - 1 = 0 Denkleminin Kökleri Farkı ve k Değeri
KULLANILAN FORMÜL:
İkinci dereceden ax^2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x_1 ve x_2 ise, kökler farkının mutlak değeri şu formülle hesaplanır:
\left| x_1 - x_2 \right| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}
Burada \Delta (diskriminant) = b^2 - 4ac şeklindedir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Denklem Katsayılarını Belirleme
Verilen 2x^2 + kx - 1 = 0 denkleminde katsayılar şöyledir:
- a = 2
- b = k
- c = -1
Adım 2 — Diskriminantı (\Delta) Hesaplama
\Delta = b^2 - 4ac formülünü uygulayalım:
\Delta = k^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)
\Delta = k^2 + 8
Adım 3 — Kökler Farkı Formülünü Uygulama
Soruda kökler farkının 2 olduğu belirtilmiştir. Formülde yerine yazalım:
2 = \frac{\sqrt{k^2 + 8}}{|2|}
2 = \frac{\sqrt{k^2 + 8}}{2}
Adım 4 — Denklemi Çözerek k Değerini Bulma
İçler dışlar çarpımı yaparak kareköklü ifadeyi yalnız bırakalım:
4 = \sqrt{k^2 + 8}
Her iki tarafın karesini alalım:
16 = k^2 + 8
k^2 = 8
k = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
(Soruda k pozitif bir gerçel sayı dendiği için +2\sqrt{2} değerini alırız.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 2\sqrt{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Kökler Farkı
- Tanım: Bir ikinci derece denklemin kökleri arasındaki mesafedir.
- Bu problemde: \frac{\sqrt{\Delta}}{a} bağıntısı kullanılarak bilinmeyen katsayıya ulaşılmıştır.
2. Diskriminant (\Delta)
- Tanım: Denklemin köklerinin varlığını ve karakterini belirleyen değerdir.
- Bu problemde: Kökler farkı formülünün temel bileşeni olarak kullanılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Formülde Mutlak Değeri Unutmak
- Yanlış: Kökler farkını sadece \sqrt{\Delta} olarak almak.
- Doğru: Paydadaki |a| değerini mutlaka hesaba katmak (2 = \sqrt{\Delta}/2).
- Neden Yanlış: Paydadaki a katsayısı hesaba katılmazsa sonuç hatalı çıkar.
Bu çözüm yoluyla ilgili kafana takılan veya benzer başka bir soru tipi var mı?