k bir doğal sayı olmak üzere 144000dots0 sayısının 135 tane pozitif tam sayı böleni vardır. Buna göre k sayısının değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
Asal Çarpanlara Ayırma ve Pozitif Bölen Sayısı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir A doğal sayısı A = a^x \cdot b^y \cdot c^z şeklinde asal çarpanlarına ayrıldığında, pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı (PBS) üslerin birer fazlasının çarpımıyla bulunur: \text{PBS} = (x+1)(y+1)(z+1).
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Sayıyı Asal Çarpanları Cinsinden Yazma
Sonda k tane sıfır bulunan sayı 144 \cdot 10^k şeklinde ifade edilir. 144 ve 10 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım:
144 = 12^2 = (2^2 \cdot 3)^2 = 2^4 \cdot 3^2
10^k = (2 \cdot 5)^k = 2^k \cdot 5^k
N = 144 \cdot 10^k = (2^4 \cdot 3^2) \cdot (2^k \cdot 5^k) = 2^{k+4} \cdot 3^2 \cdot 5^k
Adım 2 — Pozitif Bölen Sayısı Bağıntısını Kurma ve Denklemi Çözme
Asal çarpanların üslerini 1 artırıp çarparak verilen 135 değerine eşitleyelim:
\text{PBS} = (k + 4 + 1) \cdot (2 + 1) \cdot (k + 1) = 135
(k + 5) \cdot 3 \cdot (k + 1) = 135
(k + 5)(k + 1) = 45
Çarpımları 45 olan ve aralarındaki fark 4 olan çarpanlar 9 ile 5’tir (9 \cdot 5 = 45):
k + 5 = 9 \implies k = 4
CEVAP: B) 4 (k = 4)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Sondaki sıfır sayısını (10^k) çarpanlara ayırırken tabanın asal olmadığına dikkat edilmelidir; 10^k mutlaka 2^k \cdot 5^k şeklinde açılıp diğer çarpanlardaki 2 tabanıyla birleştirilmelidir.