\sum_{k=-5}^{6} k^3 toplamının sonucu kaçtır?
A) 240
B) 216
C) 180
D) 144
E) 120
Toplam Sembolünde Tek Kuvvetlerin Simetrik Özelliği
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: f(k) = k^3 tek bir fonksiyon olduğu için her a tam sayısı için (-a)^3 + a^3 = 0 olur. Bu nedenle ardışık tam sayıların küpleri simetrik bir aralıkta toplandığında zıt işaretli terimler birbirini sıfırlar:
\sum_{k=-n}^{n} k^3 = 0
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Toplam Aralığını Parçalama
Verilen \sum_{k=-5}^{6} k^3 ifadesini simetrik olan kısım ve arta kalan son terim (k=6) şeklinde iki parçaya ayıralım:
\sum_{k=-5}^{6} k^3 = \left(\sum_{k=-5}^{5} k^3\right) + 6^3
Adım 2 — Simetrik Terimlerin Sadeleşmesi
-5’ten +5’e kadar olan tam sayıların küpleri toplandığında zıt işaretli terimler birbirini yok eder:
\sum_{k=-5}^{5} k^3 = (-5)^3 + (-4)^3 + \dots + 0^3 + \dots + 4^3 + 5^3 = 0
Adım 3 — Kalan Terimi Hesaplama
Toplamdan geriye yalnızca k = 6 için hesaplanan değer kalır:
\sum_{k=-5}^{6} k^3 = 0 + 6^3 = 216
CEVAP: B) 216 \left(\sum_{k=-5}^{6} k^3 = 6^3 = 216\right)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Toplam sembolünde değişkenin tek kuvvetleri (k, k^3, k^5) verildiğinde alt ve üst sınırların simetrisini kontrol etmek, uzun formül \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 kullanmaya gerek kalmadan soruyu saniyeler içinde çözdürür.