K = 3·5 + 7·9 + 11·13 + … + 23·25 toplamında her bir terimin birinci çarpanı 2 artırılırsa K sayısı kaç artar?
[KULLANILAN FORMÜL:] Bir çarpımda çarpanlardan biri sabit kalırken diğeri artırılırsa, artış miktarı sabit çarpan ile değişen çarpanın artış miktarının çarpımına eşittir. Toplamdaki artış, her terimdeki artışın toplamıdır.
[ÇÖZÜM ADIMLARI:]
Adım 1 — K İfadesini Anlama
K sayısı, ardışık tek sayıların çarpımlarının bir toplamıdır.
K = (3 \times 5) + (7 \times 9) + (11 \times 13) + \dots + (23 \times 25)
Adım 2 — Terim Sayısını Bulma
İlk çarpanlar: 3, 7, 11, …, 23. Bu bir aritmetik dizidir.
Terim sayısı formülü: n = \frac{(Son Terim - İlk Terim)}{Artış Miktarı} + 1
Artış miktarı: 7 - 3 = 4
n = \frac{(23 - 3)}{4} + 1
n = \frac{20}{4} + 1
n = 5 + 1
n = 6
Demek ki K ifadesinde toplam 6 terim vardır.
Adım 3 — Her Bir Terimdeki Değişimi Hesaplama
Her bir terimin birinci çarpanı 2 artırılıyor.
Örneğin, ilk terim (3 \times 5) idi. Birinci çarpan 2 artırılınca (3+2) \times 5 = 5 \times 5 olur.
Bu durumda terimdeki artış: (5 \times 5) - (3 \times 5) = 25 - 15 = 10.
Alternatif olarak, artış miktarı: (birinci çarpanın artışı) \times (ikinci çarpan) = 2 \times 5 = 10.
Şimdi her terimdeki artışı hesaplayalım:
- terim: (3+2) \times 5 - 3 \times 5 = 2 \times 5 = 10
- terim: (7+2) \times 9 - 7 \times 9 = 2 \times 9 = 18
- terim: (11+2) \times 13 - 11 \times 13 = 2 \times 13 = 26
- terim: (15+2) \times 17 - 15 \times 17 = 2 \times 17 = 34
- terim: (19+2) \times 21 - 19 \times 21 = 2 \times 21 = 42
- terim: (23+2) \times 25 - 23 \times 25 = 2 \times 25 = 50
Adım 4 — Toplam Artışı Bulma
K sayısındaki toplam artış, her bir terimdeki artışların toplamıdır.
Toplam Artış = 10 + 18 + 26 + 34 + 42 + 50
Bu bir aritmetik dizi toplamıdır.
Terim sayısı: 6
İlk terim: 10
Son terim: 50
Toplam formülü: Toplam = \frac{(İlk Terim + Son Terim) \times Terim Sayısı}{2}
Toplam Artış = \frac{(10 + 50) \times 6}{2}
Toplam Artış = \frac{60 \times 6}{2}
Toplam Artış = \frac{360}{2}
Toplam Artış = 180
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[CEVAP:] K sayısı 180 artar.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[TEMEL KAVRAMLAR:]
1. Aritmetik Dizi
- [Tanım:] Ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu sayı dizisidir. Bu farka ortak fark denir.
- [Bu problemde:] Hem çarpanlar (3, 7, 11, …) hem de terimlerdeki artışlar (10, 18, 26, …) birer aritmetik dizi oluşturur.
2. Terim Sayısı Formülü
- [Tanım:] Bir aritmetik dizinin kaç terimden oluştuğunu bulmak için kullanılan formül: \frac{(Son Terim - İlk Terim)}{Ortak Fark} + 1.
- [Bu problemde:] K ifadesindeki terim sayısını bulmak için kullanılmıştır.
3. Aritmetik Dizi Toplamı Formülü
- [Tanım:] Bir aritmetik dizideki terimlerin toplamını bulmak için kullanılan formül: \frac{(İlk Terim + Son Terim) \times Terim Sayısı}{2}.
- [Bu problemde:] Her bir terimdeki artışın toplamını bulmak için kullanılmıştır.
[SIK YAPILAN HATALAR:]
Terim Sayısını Yanlış Hesaplamak
- [Yanlış:] K ifadesindeki terim sayısını 25’ten 3’e kadar olan her tek sayıyı sayarak bulmak veya terimlerin aralığını yanlış düşünmek.
- [Doğru:] Terim sayısı formülünü doğru bir şekilde uygulayarak ilk çarpanların oluşturduğu aritmetik dizinin terim sayısını bulmak.
- [Neden yanlış:] K ifadesindeki çarpanlar (3,5), (7,9), \dots şeklinde ardışık tek sayılar değil, 4’er 4’er artan tek sayılardır.
Artış Miktarını Tek Çarpan Olarak Almak
- [Yanlış:] Sadece “her terimin birinci çarpanı 2 artırılırsa” ifadesinden K’nın 2 \times 6 = 12 artacağını düşünmek.
- [Doğru:] Bir çarpımda bir çarpanın artışı, diğer çarpan ile çarpılarak terimdeki gerçek artışı verir.
- [Neden yanlış:] Örneğin, 3 \times 5 = 15. Birinci çarpanı 2 artırırsak 5 \times 5 = 25. Artış 25-15=10’dur, yani 2 \times 5’tir, sadece 2 değildir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?