Jmjgghh

YKS TYT
1

IMG20260212205637
IMG20260212205637720×1277 35.1 KB

2

Görseldeki Matematik Sorularının Çözümü

Önemli Noktalar

  • Sorularda denklem çözümü ve tam küp açılımları kullanılması gerekiyor.
  • Denklemler arası bağlantılar kurularak bilinmeyenlerin toplamı veya ifadenin değeri bulunabilir.
  • Tam küp açılımı formülleri problemler için kritik önemdedir.

İçindekiler

  1. Soru 1: x - 1/x=5 İfadesi ve x³ - 1/x³ Sonucu
  2. Soru 2: x² + 1 = x Denkleminin x³ + 3x² + 1 İfadesine Etkisi
  3. Soru 3: x³ + 3x².y = 11 ve y³ + 3xy² =16 Denklemi ve x + y Sonucu

1. x - 1/x=5 İfadesi ve x³ - 1/x³ Sonucu

Verilen:

x - \frac{1}{x} = 5

Amacımız:

x^3 - \frac{1}{x^3} = ?

Çözüm

İlk olarak iki tarafın küpünü alalım:

\left(x - \frac{1}{x}\right)^3 = x^3 - 3x \cdot \frac{1}{x} \left(x - \frac{1}{x}\right) - \frac{1}{x^3}

Yukarıdaki açılımı açalım:

(x - \frac{1}{x})^3 = x^3 - 3\left(x - \frac{1}{x}\right) - \frac{1}{x^3}

Soldaki ifade 5³ = 125 olduğundan:

125 = x^3 - \frac{1}{x^3} - 3 \cdot 5

Buradan,

x^3 - \frac{1}{x^3} = 125 + 15 = 140

Yanıt: A) 140

2. x^2 + 1 = x Denkleminin x^3 + 3x^2 + 1 İfadesine Etkisi

Verilen:

x^2 + 1 = x

Bulmak istediğimiz:

x^3 + 3x^2 + 1

Çözüm

İlk olarak, verilen denklemi kullanarak x^2 ifadesini düzenleyelim:

x^2 = x - 1

Şimdi x^3 değerini bulalım:

x^3 = x \cdot x^2 = x(x - 1) = x^2 - x

Tekrar x^2 = x -1 olduğundan:

x^3 = (x - 1) - x = -1

Şimdi aranan ifadeyi yazalım:

x^3 + 3x^2 + 1 = (-1) + 3(x - 1) + 1 = -1 + 3x - 3 + 1 = 3x - 3

Yanıt: D) 3x - 3

3. x^3 + 3x^2 \cdot y = 11, \quad y^3 + 3xy^2 = 16 Denklemi ve x + y Toplamı

Verilen:

x^3 + 3x^2y = 11 \quad (1)
y^3 + 3xy^2 = 16 \quad (2)

Aranan:

x + y = ?

Çözüm

Buradaki ifadeler, tam küp açılımı ile bağlantılıdır. Aşağıdaki formülü hatırlayalım:

(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3

(1) ve (2) denklemlerini toplarsak:

(x^3 + 3x^2y) + (y^3 + 3xy^2) = 11 + 16 = 27

Yukarıdaki toplam:

x^3 + y^3 + 3x^2 y + 3x y^2 = (x + y)^3

Bu yüzden:

(x + y)^3 = 27

Buradan,

x + y = \sqrt[3]{27} = 3

Yanıt: B) 3

Sonraki Adımlar

İstersen, bu tür tam küp ifadeler ve denklemlerle ilgili daha fazla örnek ve çözümleri açıklayabilirim. Ya da bu sorulara özgü farklı yaklaşımlar görmek ister misin?

@Ahmet_Yasin1

3

Resimde verilen Tip-2.2, Tip-2.3 ve Tip-2.4 sorularının çözümü

• Tip-2.2: (x-\tfrac1x)^3=x^3-\tfrac1{x^3}-3\,(x-\tfrac1x)
• Tip-2.3: x^2+1=x\Rightarrow x^3=-1
• Tip-2.4: (x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3

Cevaplar:
Tip-2.2 → 140 Tip-2.3 → 3x-3 Tip-2.4 → 3

İçindekiler

  1. Tip-2.2 çözümü
  2. Tip-2.3 çözümü
  3. Tip-2.4 çözümü
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

Tip-2.2 çözümü

Soru: x-\frac1x=5 olduğuna göre x^3-\frac1{x^3} kaçtır?

Adımlar:

  1. Küp farkı kimliğini kullan:
    $$(x-\tfrac1x)^3=x^3-3x\cdot\tfrac1x+3x\cdot\tfrac1{x^2}-\tfrac1{x^3}
    =x^3-\tfrac1{x^3}-3,(x-\tfrac1x).$$
  2. Yerine koy:
    5^3 = x^3-\tfrac1{x^3}-3\cdot5
    125 = x^3-\tfrac1{x^3}-15
  3. Düzenle:
    x^3-\tfrac1{x^3}=125+15=140.

Tip-2.3 çözümü

Soru: x^2+1=x olduğuna göre x^3+3x^2+1 ifadesi nedir?

Adımlar:

  1. x^2 = x-1 olduğundan
    x^3 = x\cdot x^2 = x(x-1)=x^2 - x=(x-1)-x=-1.
  2. İstediğimiz ifadeyi yaz:
    x^3+3x^2+1 = (-1)+3(x-1)+1 = -1 +3x -3 +1 = 3x-3.

Tip-2.4 çözümü

Soru: x^3+3x^2y=11 ve y^3+3xy^2=16 olduğuna göre x+y nedir?

Adımlar:

  1. Tam küp açılımını bil:
    (x+y)^3 = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3.
  2. Verilenleri topla:
    x^3+3x^2y +\,y^3+3xy^2 =11+16=27
    \Rightarrow (x+y)^3=27\;\Rightarrow\;x+y=3.

Karşılaştırma Tablosu

Özellik Tip-2.2 Tip-2.3 Tip-2.4
Kullanılan kimlik Küp farkı kimliği Denklemden yerine koyma Tam küp kimliği
Temel formül (x-\tfrac1{x})^3 x^2=x-1 (x+y)^3
Sonuç 140 3x-3 3

Özet Tablosu

Soru Sonuç Kullanılan Kimlik
Tip-2.2 140 Küp farkı
Tip-2.3 3x-3 Substitüsyon
Tip-2.4 3 Tam küp

SSS

  1. (x-\tfrac1{x})^3 açılımı nasıl elde edilir?
  2. x^2+1=x denkleminden doğrudan x^3 nasıl bulunur?
  3. (x+y)^3 kimliği hangi sınav konularında sık kullanılır?
  4. Küp açılımlarını hızlı hatırlamak için öneriler nelerdir?

Birlikte pekiştirelim: bu üç kimlikle ilgili 3 alıştırma sorusu ister misiniz?
@Ahmet_Yasin1