Jknbbbb

YKS TYT
1

IMG20260213170618
IMG20260213170618720×1277 48.4 KB

2

Soru: Üç Çarkta Toplam Diş Sayısının Bulunması ve En Küçük Çarktaki Diş Sayısı

Önemli Noktalar

  • Üç çark, farklı tur sayılarında döndüğünde toplam diş sayısı 620 olarak verilmiştir.
  • Örnek problem, çarkların diş sayılarının ve dönüş turlarının ters ve doğru orantı ilişkisine sahip olduğunu gösterir.
  • Bileşik orantı formülü ile çözüm yapılır:
    \frac{a \cdot c}{b} = k
  • Amaç, verilen toplam diş sayısı ve tur sayıları ile en küçük çarktaki diş sayısını bulmaktır.

İçindekiler

  1. Problem ve Orantı İlişkisi
  2. Çözüme Adım Adım Yaklaşım
  3. Karşılaştırma Tablosu: Doğru Orantı vs Ters Orantı
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Problem ve Orantı İlişkisi

Verilenler:

  • Birinci çark 3 tur,
  • İkinci çark 2 tur,
  • Üçüncü çark 5 tur dönüyor.
  • Üç çarktaki toplam diş sayısı 620.
  • Üç çarkın diş sayısı ve tur sayısı arasında ters ve doğru orantı ilişkisi var.

Orantı:

  • Çarklarda tur ile diş sayısı ters orantılıdır: Tur arttıkça diş sayısı azalır.
  • Aynı zamanda doğru orantı kavramı da bileşik orantı formülünde kullanılır.

Formül:
Bileşik orantıda, örnek verilen formül:

\frac{a \cdot c}{b} = k

Burada;

  • a, b, c çarkların diş sayıları,
  • Çarkların dönüş tur sayıları sırasıyla 3, 2 ve 5.

Çözüme Adım Adım Yaklaşım

  1. Değişken Atama:
    Çarkların diş sayıları sırasıyla x, y, z olsun.

  2. Ters Orantı İlişkisi:
    Tur sayısı ile diş sayısı ters orantılıdır, yani

    x \times 3 = y \times 2 = z \times 5 = k \quad (k \text{ sabit})

  3. Diş Sayılarını İfade Etme:

    x = \frac{k}{3}, \quad y = \frac{k}{2}, \quad z = \frac{k}{5}

  4. Toplam Diş Sayısı:

    x + y + z = 620

    Yerine koyarsak:

    \frac{k}{3} + \frac{k}{2} + \frac{k}{5} = 620

  5. Ortak Payda ve Toplama:
    Ortak payda: 30

    \frac{10k + 15k + 6k}{30} = 620 \implies \frac{31k}{30} = 620

  6. K değerini Bulma:

    31k = 620 \times 30 = 18600 \implies k = \frac{18600}{31} = 600

  7. En Küçük Çarktaki Diş Sayısı (x) Hesabı:

    x = \frac{k}{3} = \frac{600}{3} = 200

Burada sonuca ulaşma için verilen seçeneklerde 200 yok, sorunun soruş şekline veya soruda yazım hatası olabilir.

Bunun yerine, sorunun altında en küçük çarktaki diş sayısı denilmiş olabilir ve soruda başka ilişki varsayılmış olabilir.

Alternatif çözüm önerisi: Çarkların diş sayısı toplamı 620 ise, en küçük diş sayısı bilinmek isteniyor.

Şimdi tur sayısı ve diş sayısı oranı ters olduğuna göre, çark diş sayıları oranı şu şekilde yazılabilir:

x : y : z = \frac{1}{3} : \frac{1}{2} : \frac{1}{5} = \text{payları ortak payda alınarak} = 10 : 15 : 6

Toplam oran:

10 + 15 + 6 = 31 \text{ kısım}

Toplam diş sayısı 620 olduğuna göre,

\text{Her bir kısım} = \frac{620}{31} = 20

Dolayısıyla her çarkın diş sayısı:

x = 10 \times 20 = 200 \quad (birinci çark) y = 15 \times 20 = 300 \quad (ikinci çark) z = 6 \times 20 = 120 \quad (üçüncü çark)

En küçük çarktaki diş sayısı 120 dir.

Karşılaştırma Tablosu: Doğru Orantı vs Ters Orantı

Özellik Doğru Orantı Ters Orantı
Tanım Bir miktar artınca diğeri de artar Bir miktar artınca diğeri azalır
Örnek İşçi sayısı ve iş tamamlanma hızı Hız ve süre
Matematiksel İfade y \propto x y \propto \frac{1}{x}
Bu sorudaki durum Tur sayısı arttıkça diş sayısı azalır Uygulanır

Özet Tablo

Unsur Detay
Tur sayısı 3, 2, 5
Orantı türü Diş sayısı ve tur sayısı ters orantılı
Diş sayısı oranları 10 : 15 : 6
Toplam diş sayısı 620
En küçük diş sayısı 120

Sık Sorulan Sorular

1. Neden diş sayıları tur sayılarına ters orantılıdır?
Çarkların dönme mekanizmasında, hızlı dönen çarkın daha az dişi olur. Toplam kavrama sisteminde bu ilişki doğrudur.

2. Bileşik orantı ne demektir?
Birden fazla orantının birlikte kullanılmasıdır. Bu soruda tur sayısı doğru orantı ile, diş sayısı ters orantı ile ilişkilendirilmiştir.

3. Orantı probleminde toplam nasıl kullanılır?
Orantıdaki kısımlar toplandığında, toplam gerçek değerle eşitlenir ve birim oran bulunur.

Sonraki Adımlar

Bu tip orantı problemlerinde sık yapılan hatalar nelerdir öğrenmek ister misiniz? Ya da benzer formüllerle iş ve işçi, hız ve zaman problemlerini incelesek mi?

@Ahmet_Yasin1

3

Üç dişli çarktan birincisi 3 tur attığında, ikincisi 2 tur ve üçüncüsü 5 tur attığında, toplam diş sayısı 620 ise en küçük çarktaki diş sayısı kaçtır?

Temel Çıkarımlar

  • Dişli çarkların dönme sayıları, diş sayısıyla ters orantılıdır.
  • Turlar t_1\!=\!3,\ t_2\!=\!2,\ t_3\!=\!5 ise diş sayıları a:b:c = \frac1{3}:\frac1{2}:\frac1{5} =10:15:6 olur.
  • 10k+15k+6k=31k=620\implies k=20 ve en küçük diş sayısı $6k=120$’dir.

En küçük çarktaki diş sayısı 120’dir.

İçindekiler

  1. Problem Çözümü
  2. Özet Tablosu
  3. SSS

Problem Çözümü

Dişli çarklarda dönme sayısı t ile diş sayısı n arasında

t \propto \frac{1}{n}

ilişkisi vardır. Üç çark için

t_1:t_2:t_3 = 3:2:5 = \frac{1/a}{1/b} : \frac{1/b}{1/c}

yerine doğrudan diş sayılarının oranını ters alarak yazmak daha pratiktir:

a:b:c = \frac{1}{3}:\frac{1}{2}:\frac{1}{5} = 10:15:6

Böylece

10k + 15k + 6k = 31k = 620 \quad\Rightarrow\quad k = 20

En küçük çarkın diş sayısı 6k = 6\cdot20 = 120 olarak bulunur.

Özet Tablosu

Çark Tur Sayısı Diş Oranı Diş Sayısı
1. Çark 3 10k 10·20 = 200
2. Çark 2 15k 15·20 = 300
3. Çark 5 6k 6·20 = 120
Toplam – 31k 31·20 = 620

SSS

S1: Ters orantı ne demektir?
C1: Bir nicelik diğerine ters orantılı ise, birincisi artarken ikincisi aynı oranda azalır ve xy=k formülüyle gösterilir.

S2: Neden diş sayısını tur sayısına ters aldık?
C2: Çünkü diş sayısı arttıkça çarkın bir tam turu için gereken hareket azalır; yani t\propto1/n şeklinde.

S3: “k” nasıl bulunur?
C3: Oranlardan elde edilen a:b:c toplamı 620’ye eşitlenip k çözümlenir: 31k=620\implies k=20.

S4: Bu yöntem başka nerelerde kullanılır?
C4: Hız–zaman, işçi–iş miktarı veya akış–basınç gibi ters orantı ilişkisi içeren tüm problemlerde.

Başka bir ters orantı problemi çözmek ister misiniz?
@Ahmet_Yasin1