Jkjjjkjjmm

YKS TYT
1

IMG20260212205644
IMG20260212205644720×1277 33.9 KB

2

Matematik Soruları ve Çözümleri

Önemli Noktalar

  • Verilen ifadeler polinom ve üslerde işlem içermektedir.
  • Doğru yerine koyma ve üs kurallarını tam uygulamak gerekmektedir.
  • Sonuçlar temel aritmetik ve üs kurallarına dayanır.

İçindekiler

  1. Soru 1: x=3, y=-1 için ifadeyi hesaplama
  2. Soru 2: Verilen polinomun sonucu
  3. Soru 3: Üslerle verilen denklemin çözümü

1. Soru Çözümü: x=3, y=-1 için İfadenin Sonucu

Verilen ifade:

x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4

Bu ifade (x + y)^4 açılımının binom açılımıdır.

Adım adım çözüm:

  • x=3, y=-1
  • Öncelikle ifadenin (x + y)^4 olduğunu görün.
  • (3 + (-1))^4 = (2)^4 = 16

Sonuç: 16

Doğru cevap: C) 16

:light_bulb: Pro Tip: Binom açılımı bildiğinizde karmaşık görünen polinomları hızlıca hesaplayabilirsiniz.

2. Soru Çözümü: x = \sqrt[5]{7} + 1 için İfadenin Sonucu

Verilen ifade:

x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x

Bu da (x - 1)^5 ifadesinin binom açılımıdır.

Çözüm:

  • x = \sqrt[5]{7} + 1
  • (x - 1)^5 = (\sqrt[5]{7} + 1 - 1)^5 = (\sqrt[5]{7})^5 = 7

Fakat soruda sadece

x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x

ifadeyi soruyor; (x-1)^5 açılımında son terim olarak -1^5 = -1 da olmalı. Ancak bu terim yok. Bu yüzden ifadenin değeri:

(x-1)^5 + 1 = 7 + 1 = 8

Yani verilen ifade (x-1)^5 + 1. Bu nedenle 8 olur.

Doğru cevap: D) 8

:warning: Uyarı: Binom açılımında eksik veya fazla terimlere dikkat edin.

3. Soru Çözümü: Üslerle Verilen Denklemde x Değeri

Denklik:

(2+1) \cdot (2^2 + 1) \cdot (2^4 +1) \cdot (2^8 +1) = 2^x - 1

Öncelikle sol tarafı hesaplayalım:

  • 2+1 = 3
  • 2^2 + 1=4 +1=5
  • 2^4 +1 =16 + 1=17
  • 2^8 +1=256 +1=257

Şimdi çarpalım:
3 \times 5 = 15
15 \times 17 = 255
255 \times 257

Dikkat çekici küçük bir fakt:
255 = 256 - 1
257 = 256 + 1
Bunlar farkın karesi biçiminde çarpılırsa:

255 \times 257 = (256 -1)(256+1) = 256^2 -1^2 = 256^2 -1

Yani:

3 \times 5 \times 17 \times 257 = 255 \times 257 = 256^2 -1

Ancak biz kontrol ederken 255 = 3 \times 5 \times 17 olarak ayrıldı, ilk çarpımda 3517 zaten 255, yanlış hesap yapmamaya dikkat.

Görünüşe göre ilk adımda tüm çarpanlar yazıldı, aslında yukarıda hesaplama şu şekildedir:

Sol ifade:

(2+1) \cdot (2^2 + 1) \cdot (2^4 + 1) \cdot (2^8 + 1)

= 3 \times 5 \times 17 \times 257

Bu sayıları tek tek çarpalım:

  • 3 \times 5 = 15
  • 15 \times 17 = 255
  • 255 \times 257 = ?

Hesaplama:
255 \times 257 = (256 -1) \times (256 + 1) = 256^2 - 1 = 65536 - 1 = 65535

Sonuç olarak sol taraf: $$65535$$

Şimdi sağ taraf:

2^x - 1 = 65535
2^x = 65536

65536, 2^{16}'dır. Yani

x = 16

Doğru cevap: C) 16

:light_bulb: Pro Tip: Bilinen kuvvet sayılarını ve özdeşlikleri ezberlemek hız kazandırır.

Özet Tablo

Soru No Konu Sonuç Doğru Şık
1 Binom Açılımı (x + y)^4 16 C
2 Binom Açılımı (x - 1)^5 + 1 8 D
3 Üs ve Çarpanlarla Denklem 16 C

Sık Sorulan Sorular

1. Binom açılımı nedir?
İki terimin toplamının üssünün açılımıdır ve Pascal üçgeni katsayılarını kullanır.

2. Üsleri hesaplamada ipuçları nelerdir?
Anlamlı kuvvetleri (2^10=1024 gibi) ve formülleri (a-b)(a+b)=a^2 - b^2 gibi kullanmak hızlı çözüm sağlar.

3. Polinom çözümünde dikkat edilmesi gerekenler?
Terimlerin doğru şekilde toplanması ve verilen sayılarla yerine koyarak hesaplanması en güvenilir yoldur.

Sonraki Adımlar

Bu sorularla benzer biçimde üslü ifadeler veya binom açılımı sorularına yönelik örnek çözümler ister misiniz?
Ya da bu kavramlar için hazırladığım adım adım öğrenme rehberini görmek ister misiniz?

@Ahmet_Yasin1

3

Tip-27, Tip-28 ve Tip-29 Çözüm Adımları

Anahtar Noktalar

  • Binom açılımı formülü: (x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4
  • Özel beşinci dereceden faktörleşme: x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x = (x-1)^5 + 1
  • Telescoping ürün: \prod_{k=0}^{n}(2^{2^k}+1)=2^{2^{n+1}}-1

Doğrudan Cevap
Tip-27 için 16, Tip-28 için 8, Tip-29 için 16.

İçindekiler

  1. Tip-27 Çözümü
  2. Tip-28 Çözümü
  3. Tip-29 Çözümü
  4. Karşılaştırma Tablosu
  5. Özet Tablosu
  6. SSS

Tip-27 Çözümü

Verilen ifade

x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4

Binom açılımına göre

(x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4.

x=3,\;y=-1 için

(x+y)^4 = (3 + (-1))^4 = 2^4 = 16.

Tip-28 Çözümü

Verilen x = \sqrt[5]{7} + 1 ve ifade

x^5 \;-\;5x^4\;+\;10x^3\;-\;10x^2\;+\;5x.

Şunu göz önüne alalım:

(x-1)^5 = x^5 -5x^4 +10x^3 -10x^2 +5x -1 \;\Longrightarrow\; x^5 -5x^4 +10x^3 -10x^2 +5x = (x-1)^5 +1.

Dolayısıyla

\bigl(x-1\bigr)^5 + 1 = \bigl(\sqrt[5]{7}\bigr)^5 + 1 = 7 + 1 = 8.

Tip-29 Çözümü

İfade

(2+1)\,(2^2+1)\,(2^4+1)\,(2^8+1).

Basitçe hesaplayalım:

  • 3\times5 =15
  • 15\times17 =255
  • 255\times257 =255\,(256+1)=255\cdot256+255=65535

Ayrıca 65535 = 2^{16}-1 olduğundan

(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1) = 2^{16} - 1 = 2^x - 1 \;\Longrightarrow\; x = 16.

Karşılaştırma Tablosu

Problem Uygulanan Formül Değişken Sonuç
Tip-27 (x+y)^4 x=3,\;y=-1 16
Tip-28 x^5 -5x^4 +10x^3 -10x^2 +5x = (x-1)^5+1 x=\sqrt[5]{7}+1 8
Tip-29 \prod_{k=0}^3(2^{2^k}+1)=2^{16}-1 – 16

Özet Tablosu

Adım Yöntem Sonuç
Tip-27 Binom açılımı (x+y)^4 16
Tip-28 Beşinci dereceden faktörleme: (x-1)^5+1 8
Tip-29 Telescoping ürün formülü: \prod(2^{2^k}+1)=2^{2^{n+1}}-1 16

SSS

  1. Binom açılımında katsayılar nasıl bulunur?
    Cevap: Pascal üçgeninden veya \binom{n}{k} formülü ile.

  2. (x-1)^5 ifadesinin açılımı nedir?
    Cevap: x^5 -5x^4 +10x^3 -10x^2 +5x -1.

  3. Telescoping ürün formülü genel hâli nedir?
    Cevap: \prod_{k=0}^{n}(a^{2^k}+1)=\dfrac{a^{2^{n+1}}-1}{a-1}, a=2 için 2^{2^{n+1}}-1.

  4. Bu tip sorularda hangi stratejiler sıkça kullanılır?
    Cevap: Binom açılımı, indeks indirgeme ve çarpanlara ayırma teknikleri.

Daha fazla benzer örnek soru veya pratik problemi ister misin, Ahmet_Yasin1?