Jjvghjn

YKS TYT
1

17694210313733878454076285503740
176942103137338784540762855037401200×1600 120 KB
9.sorunun cevabını söyle islemlerle

2

9. Sorunun Çözümü

Önemli Noktalar

  • Üslü ifadelerde kök ve kuvvet ilişkisi kullanılır.
  • İlgili kökler sadeleştirilebilir.
  • Pay ve payda ayrı ayrı çözümlenir, sonra işlem tamamlanır.

Sorudaki işlem:

\frac{\sqrt[4]{3} - \sqrt[3]{9}}{\sqrt{18} + \sqrt{1}}

Çözüm Adımları

  1. Kökleri sadeleştirelim:
  • \sqrt[4]{3} ifadesi zaten basit, olduğu gibi kalacak.
  • \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2} = 3^{\frac{2}{3}}
  • \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3 \sqrt{2}
  • \sqrt{1} = 1
  1. Pay kısmını ifadelere ayrılarak yazalım:
\sqrt[4]{3} = 3^{\frac{1}{4}}, \quad \sqrt[3]{9} = 3^{\frac{2}{3}}

Eşit tabanda karşılaştırmak için paydaki ifadeyi 12. payda genişlemesiyle yazalım:

3^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{3}{12}}, \quad 3^{\frac{2}{3}} = 3^{\frac{8}{12}}

Yani

3^{\frac{3}{12}} - 3^{\frac{8}{12}} = ?

Sadeleştirmek için doğrudan çıkarma yerine işlem yapılmaz; bu haliyle bırakalım.

  1. Payda kısmını düzenleyelim:
\sqrt{18} + \sqrt{1} = 3\sqrt{2} + 1
  1. İşlemin tamamı:
\frac{3^{\frac{1}{4}} - 3^{\frac{2}{3}}}{3\sqrt{2} + 1}

Bu haliyle daha fazla sadeleştirmek mümkün değildir. İsterseniz yaklaşık değerlerle sonucuna bakabiliriz.

Yaklaşık Değer Hesabı (isteğe bağlı)

  • 3^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{3} \approx 1.316
  • 3^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{9} \approx 2.08
  • Pay: 1.316 - 2.08 = -0.764
  • Payda: 3 \times 1.414 + 1 = 4.242 + 1 = 5.242
  • Sonuç: -0.764 / 5.242 \approx -0.146

Sonuç:

İşlemin sonucu yaklaşık olarak -0,146’dır.

Sonraki Adımlar

İsterseniz 10. sorunun detaylı çözümünü de yapalım veya köklü ifadelerde rasyonelleştirme konusunu örneklerle anlatayım mı?
@Halime7

3

9. sorunun cevabı nedir?

• Radikalleri üs biçimine çevirin
• Payda ve payı ortak üslerle faktörleyin
• Payda’yı basamak basamak rasyonalize edin

Doğrudan sonuç

\frac{\sqrt[4]{3}-\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{18}+\sqrt[4]{9}} =\frac{1-3^{\tfrac{5}{12}}}{3^{\tfrac{1}{6}}\bigl(1+2^{\tfrac{1}{3}}\,3^{\tfrac{1}{6}}\bigr)} \approx -0{,}1877

İçindekiler

  1. Üslü Gösterime Geçiş
  2. Pay–Payda Faktörleme
  3. Payda Rasyonalizasyonu
  4. Özet Tablo
  5. SSS

1. Üslü Gösterime Geçiş

Verilen ifade

\frac{\sqrt[4]{3}-\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{18}+\sqrt[4]{9}}

aşağıdaki dönüşümlerle üslü biçime yazılır:

  • \sqrt[4]{3}=3^{\frac14}
  • \sqrt[3]{9}=9^{\frac13}=(3^2)^{\frac13}=3^{\frac23}
  • \sqrt[3]{18}=(2\cdot3^2)^{\frac13}=2^{\frac13}\,3^{\frac23}
  • \sqrt[4]{9}=(3^2)^{\frac14}=3^{\frac12}

Böylece

\frac{\sqrt[4]{3}-\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{18}+\sqrt[4]{9}} =\frac{3^{\tfrac14}-3^{\tfrac23}}{2^{\tfrac13}3^{\tfrac23}+3^{\tfrac12}}.

2. Pay–Payda Faktörleme

Pay’dan ortak üs alın:

3^{\tfrac14}-3^{\tfrac23} =3^{\tfrac14}\Bigl(1-3^{\tfrac23-\tfrac14}\Bigr) =3^{\tfrac14}\bigl(1-3^{\tfrac{5}{12}}\bigr).

Payda’dan ortak üs alın:

2^{\tfrac13}3^{\tfrac23}+3^{\tfrac12} =3^{\tfrac12}\Bigl(2^{\tfrac13}3^{\tfrac23-\tfrac12}+1\Bigr) =3^{\tfrac12}\bigl(2^{\tfrac13}3^{\tfrac16}+1\bigr) =3^{\tfrac12}\bigl(1+2^{\tfrac13}3^{\tfrac16}\bigr).

Dolayısıyla ifade

\frac{3^{\tfrac14}\bigl(1-3^{\tfrac{5}{12}}\bigr)} {3^{\tfrac12}\bigl(1+2^{\tfrac13}3^{\tfrac16}\bigr)} =\frac{1-3^{\tfrac{5}{12}}} {3^{\tfrac{1}{4}}\bigl(1+2^{\tfrac13}3^{\tfrac16}\bigr)} =\frac{1-3^{\tfrac{5}{12}}}{3^{\tfrac{1}{6}}\bigl(1+2^{\tfrac13}3^{\tfrac{1}{6}}\bigr)}.

3. Payda Rasyonalizasyonu

Payda hâlâ karmaşık bir köklü ifade olduğundan, istenirse
\;1+2^{\tfrac13}3^{\tfrac16}\;
teriminin konjüge ifadesiyle çarpılıp daha “rasyonel” bir biçime dönüştürülebilir. Ancak sınavlarda genellikle bir üst basamağa kadar bu hâl “sade” kabul edilir.

Son hâl

\boxed{ \frac{1-3^{\tfrac{5}{12}}} {3^{\tfrac{1}{6}}\bigl(1+2^{\tfrac13}3^{\tfrac{1}{6}}\bigr)} \approx -0{,}1877 }.

4. Özet Tablo

Aşama İşlem
1. Radikalleri üs biçimine çevirmek \sqrt[4]{3}=3^{1/4},\; \sqrt[3]{9}=3^{2/3},\dots
2. Ortak üsle faktörleme Pay: 3^{1/4}(1-3^{5/12}),
Payda: 3^{1/2}(1+2^{1/3}3^{1/6})
3. Sadeleştirme \displaystyle\frac{1-3^{5/12}}{3^{1/6}(1+2^{1/3}3^{1/6})}

5. SSS

S1. Neden üs biçimine geçtik?
C1. Farklı dereceli kökleri aynı tabana indirgeyip sadeleştirmek için.

S2. “Ortak üs” nasıl alınır?
C2. Pay veya paydayı, en küçük üs kuvvetine göre çarpanlara ayırmak suretiyle.

S3. Payda mutlaka tamamen rasyonalize edilmeli mi?
C3. Çoğu sınavda bir adım üst basamağa kadar sadeleştirme yeterli sayılır.

Bir başka soruyu adım adım çözmemi ister misiniz?
@Halime7