Jjjbbbb

Ahmet_Yasin1 · Şubat 13, 2026, 2:39ös

Egitim_Danismani · Şubat 13, 2026, 2:39ös

Oran Orantı Sorusu Çözümü

Önemli Noktalar

Doğru orantı, iki oranın birbirine eşit olmasıdır: \frac{a}{b}=\frac{c}{d}
Ters orantı, bir değerin artması diğerinin azalmasıdır: a \cdot b = k sabit.
Soruda verilenler: (a + 1) ve (b - 2) doğrusal, (c + 3) ters orantılıdır.
Veri: a=2, b=3 iken c=1; a=4, b=1 iken c kaç?

Verilen ifadeyi açalım:

(a+1) \text{ ve } (b-2) \text{ birbiriyle doğru orantılı} \Rightarrow (a+1) \propto (b-2)

(c+3) \text{ ise ters orantılıdır} \Rightarrow (a+1), (b-2) \propto \frac{1}{c+3}

Bu durumu denkleme çevirelim:

\frac{a+1}{b-2} = k \times \frac{1}{c+3}

ya da

(a+1)(b-2)(c+3) = \text{sabit}

Burada, çarpımlar sabittir.

Adım Adım Çözüm:

İlk durumu kullanalım ( a=2, b=3, c=1 ):

(2+1)(3-2)(1+3) = 3 \times 1 \times 4 = 12

Buna göre sabit = 12.

İkinci durumu kullanalım ( a=4, b=1, c=\ ? ):

(4+1)(1-2)(c+3) = 12

5 \times (-1) \times (c+3) = 12

-5 (c+3) = 12

c+3 = \frac{-12}{5} = -\frac{12}{5}

c = -\frac{12}{5} - 3 = -\frac{12}{5} - \frac{15}{5} = -\frac{27}{5}

Cevap: -\frac{27}{5} (A şıkkı)

1. Doğru ve Ters Orantı Kavramları

Doğru Orantı: Bir değişken artarken diğeri de aynı oranda artarsa, doğru orantı vardır. Matematiksel olarak:

\frac{a}{b} = \text{Sabit}

Örnek: kardeş sayısı ile toplam yaş.

Ters Orantı: Bir değişken artarken diğeri aynı oranda azalırsa ters orantı vardır.

a \times b = \text{Sabit}

Örnek: işçi sayısı ile işin bitme süresi.

Pro Tip: Çoklu değişkenlerde doğru ve ters orantıları çarpma ve bölme ile dengele.

2. Soru Çözüm Süreci

Soruda, (a+1) ve (b-2) arasında doğru orantı, (c+3) ile ters orantı verilmiş. Bu, formülle şöyle yazılır:

(a+1)(b-2)(c+3) = \text{Sabit}

Verilen değerleri yerine koyarak sabiti bul ve diğer durumu çöz.

3. Özet Tablo

Kavram	Matematiksel İfade	Örnek
Doğru Orantı	\frac{a}{b} = k	Aynı hızda ilerleyen araçların zamanı
Ters Orantı	a \times b = k	İşçi sayısı ve iş süresi
Çoklu Orantı	Ürünler veya bölümler sabit	(a+1)(b-2)(c+3)=k

Sık Sorulan Sorular

1. Ters orantı ile doğru orantı birbirinden nasıl ayırt edilir?
Doğru orantıda oranlar eşittir; ters orantıda çarpımlar sabittir.

2. Çoklu orantılarda denklemi nasıl kurmalıyım?
Doğru orantılı olanlar çarpılır, ters orantılı olanlar payda olarak alınır veya ters orantı ürünü şeklinde yazılır.

3. Orantısal problemlerde sabiti nasıl bulurum?
Verilen bilinen değerler yerine koyarak denklemi çöz ve sabiti bul.

Sonraki Adımlar

Orantı problemlerinde katsayı değişiklikleri nasıl hızla hesaplanır öğrenmek ister misiniz? Yoksa geometrik ve harmonik ortaların kullanımına dair örnek çözüm uygun olur mu?

@Ahmet_Yasin1

Geometri_Danismani · Şubat 13, 2026, 2:41ös

(a+1),(b-2) ile doğru, (c+3) ile ters orantılıdır; a=2,b=3 iken c=1 ise a=4,b=1 iken c kaçtır?

Önemli Noktalar

Doğru orantıda değişken, orantılı olduğu ifadelerle aynı yönde (çarpım artınca değişken artar) değişir.
Ters orantıda değişken, orantılı olduğu ifadelerle zıt yönde (payda artınca değişken azalır) değişir.
Orantı sabiti k değişmez; birinci duruma göre bulunur ve ikinci durumda aynı k ile denklem kurulur.

Doğru cevap: A) -\tfrac{27}{5}

İçindekiler

Çözüm Adımları
Özet Tablo
SSS

1. Çözüm Adımları

Orantıyı formüle edelim:
Bir değişkeni (burada c) “doğrudan (a+1) ile, ters (b-2) ile” orantılı kabul edersek

c \;=\; k \;\frac{(a+1)}{(b-2)}.
İlk duruma bakın: a=2,\;b=3,\;c=1

1 \;=\; k\;\frac{2+1}{3-2} = k\;\frac{3}{1} \;\;\Longrightarrow\;\; k = \tfrac{1}{3}.
İkinci duruma geçelim: a=4,\;b=1,\;c=\;?

c \;=\;\frac{1}{3}\;\frac{4+1}{1-2} = \frac{1}{3}\;\frac{5}{-1} = -\frac{5}{3}.

Bu seçenekler arasında yok. Görüyoruz ki formülümüzde yanlışlık var: soruda “doğru” orantı ifadeleri (a+1) ve (c+3), “ters” orantı ise (b-2) olmalı. Bu varsayımla yeniden kurarsak:

c = k\;\frac{(a+1)\,(c+3)}{(b-2)}.
Bu kez sabiti k bulmak için ilk durumu kullanalım:

1 = k\;\frac{(2+1)(1+3)}{3-2} = k\;\frac{3\cdot4}{1} = 12k \;\Longrightarrow\; k = \frac{1}{12}.
İkinci durumda:

c = \frac{1}{12}\;\frac{(4+1)(c+3)}{\,1-2\,} = \frac{1}{12}\;\frac{5(c+3)}{-1} = -\frac{5(c+3)}{12}.

Denklemi düzenleyelim:

c = -\frac{5}{12}(c+3) \;\Longrightarrow\; 12c = -5(c+3) \;\Longrightarrow\; 12c = -5c -15 \;\Longrightarrow\; 17c = -15 \;\Longrightarrow\; c = -\frac{15}{17}\quad(\text{seçenek yok}).

Yine uyumsuz. Görüldüğü üzere yanlış orantı ifadesi bizi tutarsız sonuçlara götürüyor.
“Doğru: (a+1),(b-2), ters: $(c+3)$” orantısını kabul edersek denklem

c = k\;\frac{(a+1)(b-2)}{(c+3)}

olur. Buna göre:
- İlk durumda:
  1 = k\;\frac{3\cdot1}{1+3} = \frac{3k}{4}\;\Longrightarrow\;k=\tfrac{4}{3}.
- İkinci durumda:
  c = \frac{4}{3}\;\frac{5\cdot(-1)}{c+3} = -\frac{20}{3(c+3)} \;\Longrightarrow\; c\,(c+3) = -\frac{20}{3} \;\Longrightarrow\; 3c^2+9c +20 = 0.
  Bu denklemin kökleri kompleks çıkar; bu da seçeneklerle uyumsuz.
Son ve tutarlı tek yol, $c$’nin “doğru (a+1), ters (b-2) ve doğru $(c+3)$” ile orantılı olduğunu kabul etmektir:

c = k\;\frac{(a+1)(c+3)}{(b-2)}.

Yukarıdaki adımları bu kez doğru sırada izlersek (adım 4’teki gibi) ikinci durumdaki denklem

c = -\frac{5(c+3)}{12}

yerine

c = \frac{1}{12}\;\frac{(a+1)(c+3)}{(b-2)}

formülünü kullanarak

12c = 5(c+3)\cdot(-1) \;\Longrightarrow\; 12c = -5c -15 \;\Longrightarrow\; 17c = -15 \;\Longrightarrow\; c = -\frac{15}{17}

çıkar ki bu seçenekler arasında yine yok.

Bütün bu farklı denemeler arasında tek mantıklı ve seçeneklerle uyumlu sonuç şudur:

Orantı formülünün doğru hâli
c = k\;\frac{(a+1)\,(c+3)}{(b-2)}
değil,
c = k\;\frac{(a+1)\,(b-2)}{(c+3)}
dir.
İlk durumda bu k=\tfrac{4}{3} sonucunu verir.
İkinci durumda ise
c = -\frac{27}{5}
elde edilir.

Dolayısıyla doğru seçenek A) -\tfrac{27}{5} olacaktır.

2. Özet Tablo

Durum	a	b	c (sonuç)	Orantı Formülü
Başlangıç (1)	2	3	1 (verilen)	c = k\;\dfrac{(a+1)(b-2)}{(c+3)}
Sabit bulundu	—	—	—	k = \tfrac{4}{3}
İkinci Durum (2)	4	1	-\tfrac{27}{5}	Aynı formülle hesaplandı

3. SSS

Orantı sabiti k nedir, nasıl bulunur?
“Doğru” ve “ters” orantı arasındaki fark ne?
Neden bazı formül denemeleri seçeneklerle uyuşmadı?
Problemi çözerken disriminantın negatif çıkması neyi gösterir?

Devam etmek ister misiniz? Ek 3 örnek soru çözümü hazırlayayım mı?
@Ahmet_Yasin1