Soru:
x ve y birden büyük gerçek sayılar olmak üzere, (\log_2 x,\;\log_2 (f(x))) sıralı ikililerinin oluşturduğu doğrusal fonksiyon aşağıda gösterilmiştir.
Grafiğe göre y=f(x) ikinci dereceden fonksiyonu orijinden geçtiğine göre, f(2) kaçtır?
İçindekiler
- Grafikten Okuma ve Denklem Kurma
- Doğrusal İlişkinin Analizi
- Fonksiyonun Bulunması
- Özet Tablosu
- Cevap
1. Grafikten Okuma ve Denklem Kurma
Grafikte verilen iki belirgin nokta:
- (\log_2 x,\;\log_2 (f(x)))=(0,1)
- (\log_2 x,\;\log_2 (f(x)))=(2,5)
Bu noktalar, \log_2 x ekseni ile \log_2(f(x)) ekseni arasındaki doğrusal ilişkiyi tanımlar.
2. Doğrusal İlişkinin Analizi
Doğrusal fonksiyonun genel formu:
- Nokta (0,1) için: 1 = m\cdot 0 + b \;\Rightarrow\; b=1.
- Nokta (2,5) için: 5 = m\cdot 2 + 1 \;\Rightarrow\; 2m = 4 \;\Rightarrow\; m=2.
Dolayısıyla
3. Fonksiyonun Bulunması
Elde ettiğimiz denklemden:
Bu da
olduğunu verir.
Orijinden geçmesi şartı da (sabit terimin 0 olması), f(x)=2x^2 ile uyumludur.
4. Özet Tablosu
| Adım | Denklemler ve Sonuçlar |
|---|---|
| Geçen Noktalar | (0,1) ve (2,5) |
| Doğrusal Denklem | \log_2 (f(x)) = m \log_2 x + b |
| b Değeri | b=1 |
| m Değeri | m=2 |
| Logaritmik İfade | \log_2 (f(x)) = \log_2(2\,x^2) |
| Fonksiyonun Kendisi | f(x) = 2\,x^2 |
| İstenen Değer | f(2)=2\cdot2^2=8 |
5. Cevap
Aranan değer: f(2)=8
Seçenekler arasında A) 8 doğrudur.
Soru:
x ve y birden büyük olan gerçek sayılar olmak üzere, (\log_2 x, \log_2 (f(x))) sıralı ikililerinin oluşturduğu doğrusal fonksiyon aşağıda gösterilmiştir.
y = f(x) ikinci dereceden fonksiyonu orijinden geçtiğine göre, f(2) kaçtır?
Çözüm:
Adım 1: Verilen grafik ve ifadeler
Grafikte yatay eksen \log_2 x , düşey eksen ise \log_2 f(x) gösteriliyor.
Grafikte x=2 için \log_2 x = \log_2 2 = 1 ve \log_2 f(2) = 5 noktası yer almaktadır.
Fonksiyonun ikinci dereceden olduğu ve orijinden geçtiği belirtilmiş. Ayrıca (\log_2 x, \log_2 (f(x))) noktalarının doğrusal bir fonksiyon oluşturduğu söylendi.
Adım 2: Varsayımlar ve denklemler
\log_2 f(x) fonksiyonunun \log_2 x cinsinden doğrusal olduğunu biliyoruz. Yani;
\log_2 f(x) = a \log_2 x + b
Burada a ve b sabitler. Ayrıca f(x) ikinci dereceden bir fonksiyon (parabol):
f(x) = A x^2 + B x + C
ve orijinden geçtiğine göre C=0 (yani f(0) = 0).
Adım 3: Orijin bilgisi
Orijinden geçme şartı: f(0) = 0.
Ama bize x > 1 şartı verilmiş, ancak ikinci dereceden fonksiyon orijin’den geçiyor yani:
C = 0, fonksiyonumuz:
f(x) = A x^2 + B x
Adım 4: Logaritmik ifadeyi açalım
\log_2 f(x) = \log_2 (A x^2 + B x)
Bu ifade, a \log_2 x + b gibi doğrusal bir fonksiyon olacaksa, f(x) ifadesinin logaritması birinci dereceden bir ifade olmalı. Ancak f(x) ikinci dereceden, genel bir polinom ise logaritması doğrusal olamaz. Bu durumda f(x) şekli, ona uygun olmalıdır.
Adım 5: Fonksiyonun formuna yönelik çıkarım
Varsayım:
\log_2 f(x) = a \log_2 x + b
Bu eşitlik şu anlama gelir:
f(x) = 2^b \cdot x^a
Yani f(x), bir kuvvet fonksiyonudur, parametreleri uygun olarak. Buna göre f(x) = k x^a biçimindedir.
Ancak soru f(x)'nin ikinci dereceden fonksiyon olduğunu belirtmiştir. İkinci dereceden (parabol) fonksiyonlar aşağıdaki şekildedir:
f(x) = p x^2 + q x + r
Orijinden geçtiği için r=0, yani:
f(x) = p x^2 + q x
Fakat logaritması için verilen doğrusal grafik incelendiğinde:
\log_2 f(x) = \log_2 (p x^2 + q x)
bu ifadenin a \log_2 x + b formunda olması mümkün değildir. Çünkü \log_2 (p x^2 + q x) \neq a \log_2 x + b, ancak \log_2 (x A) yapılamazsa.
Bu paradoks bizi q=0 veya p=0 varsayımına götürür.
Ama soru ikinci dereceden ve orijinden geçen fonksiyon dediği için q ve p farklı sıfır olabilir.
Adım 6: Doğrusal fonksiyonun grafiğinden eşitlikler
Grafikte, x=1 için:
\log_2 x=0 ve \log_2 f(1) = 1
Buna göre:
Yani b=1.
x=2 için:
\log_2 x = 1 ve \log_2 f(2) = 5 (grafikten tam karşılandı)
Bu durumda;
Dolayısıyla:
Adım 7: Fonksiyonun ikinci dereceden olması çelişkisi
Burada f(x) = 2 x^4 çıkarıldı ki bu dördüncü dereceden fonksiyondur, ikinci dereceden değil. Soruda belirtilen koşullarla grafik çelişiyor.
Ancak soru f(x)'nin ikinci dereceden olduğunu, orijinden geçtiğini söylüyor, ama grafik logaritmanın doğrusal davranışını veriyor.
Buna göre f(x) ikinci derece polinom olarak yazılır:
ve
işlemini sağlayacak şekilde.
Adım 8: f(1) değerini bulalım
Logaritmadan f(1)'i hesaplayalım:
f(x) = a x^2 + b x, orijinden geçtiği için f(0) = 0.
f(1) = a + b = 2
Adım 9: f(2) değerini de logaritmadan bulalım
\log_2 f(2) = 5 \implies f(2) = 2^5 = 32.
Ayrıca f(2) = 4a + 2b = 32
Adım 10: Denklem sistemini çözelim
[
\begin{cases}
a + b = 2 \
4a + 2b = 32
\end{cases}
]
İlk denklemi b = 2 - a olarak yazalım ve ikinciye yerine koyalım:
Böylece:
Sonuç:
Fonksiyon:
İstenen: f(2) değerini bulalım.
Ama zaten bulduk:
Fakat cevap şıklarında 32 yok.
Bunun anlamı:
Grafikte \log_2 f(2) = 5 ve logaritma değeri verilmiş (bu 32 etmeli), ama cevaplarda 32 yok. Şıkları tekrar gözden geçirelim:
- A) 8
- B) 10
- C) 12
- D) 14
- E) 15
Burada 32 yok. Bu durumda grafik veya soruda bir hata olabilir.
Alternatif yorum:
Grafikteki yatay eksen 2, düşey eksen 5 olarak işaretlenmiş. Bu, \log_2 x = 2 , yani x=4, ve \log_2 f(x) = 5 ise f(x)=2^5=32 demektir.
Belki nokta x=4 iken f(4)=32 şeklindedir. Sorudaki okunması gereken nokta bu.
Tekrar grafikte:
- Yatayda 2 üzerinde düşeyde 5 var.
- Yatayda 2 demek x=2^2=4
- Düşeyde 5 demek f(x)=2^5=32
Eğer nokta (\log_2 4, \log_2 f(4)) = (2,5) ise ona göre ilerleyelim.
Yeni çözüm:
- Grafik doğrusal ise,
Verilen noktalar:
-
x=1 için \log_2 1=0, \log_2 f(1) =1
$$b=1$$ -
x=4 için \log_2 4=2, \log_2 f(4)=5
a \cdot 2 + b = 5 \implies 2a + 1=5 \implies a=2
Fonksiyonumuz:
Orijinden geçen ikinci dereceden fonksiyon:
(Orijinden geçiyor, çünkü f(0) = 0)
Son adım: f(2) değerini bulun.
Cevap: 8
Özet Tablosu
| Değişken | Değer | Açıklama |
|---|---|---|
| Nokta 1 | (\log_2 1=0, \log_2 f(1)=1) | f(1) = 2 |
| Nokta 2 | (\log_2 4=2, \log_2 f(4)=5) | f(4)=32 |
| Fonksiyon (log) | \log_2 f(x) = 2 \log_2 x + 1 | Doğrusal (grafiğe göre) |
| Fonksiyon (orijinal) | f(x) = 2 x^2 | İkinci dereceden, orijinden geçen |
| İstenen | f(2) = 8 | Sorunun cevabı |