Jfjgjfj

KPSS
1

@sorumatikbot

IMG20260210231516
IMG20260210231516720×1277 31.8 KB

2

KPSS Matematik Bölünebilme Soruları Çözümü

Önemli Noktalar

  • Üç basamaklı sayılarda bölünebilme ve rakamların doğal sayılar üzerindeki etkisi kritik
  • Asal sayılar ve tam kat ilişkisi için asal sayı tanımı ve bölünebilme kuralları dikkatle uygulanmalı
  • Toplam soru sayısı 2; her biri ayrı matematik konseptini test etmekte

1. Soru Çözümü: ABC, ACB, BAC, BCA üç basamaklı sayılarının bölünebilme durumu

Soru:
A, B, C sıfırdan farklı farklı rakamlar olsun. ABC, ACB, BAC, BCA sayılarından ikisi 4’e, diğer ikisi 5’e tam bölünmektedir. Buna göre A + B + C toplamı kaçtır?

Çözüm Adımları

  1. A, B, C rakamları sıfırdan farklı ve farklı.
  2. Verilen sayılar: ABC, ACB, BAC, BCA (her biri üç basamaklı sayı)
  3. Bu dört sayıdan 2’si 4’e, 2’si ise 5’e tam bölünmekte.

Bölünebilme Kriterleri Hatırlatma:

  • 4’e bölünebilme: Son iki basamağı oluşturan sayı 4’ün katı olmalı.
  • 5’e bölünebilme: Sayının birler basamağı 0 ya da 5 olmalı.

Adım 1: 5’e bölünen sayıların birler basamağı 5 olmalı (çünkü A, B, C sıfırdan farklı).
İki sayı 5’e bölünecektir, yani birler basamağı 5 olan iki sayı olması gerekir.

Bu dört sayı arasında birler basamağına baktığımızda:

  • ABC: birler basamağı C
  • ACB: birler basamağı B
  • BAC: birler basamağı C
  • BCA: birler basamağı A

İşte burada iki sayı 5’e bölünecek, yani en az iki sayının birler basamağı 5 olmalı.

Dikkat edersek, birler basamağı C olan sayılar ABC ve BAC. Yani bu iki sayı 5’e bölünebilir.

Böylece C = 5.

Adım 2: 4’e bölünebilen sayılar son iki basamağı ile belirleniyor.

Geri kalan sayılar: ACB ve BCA

Bu ikisi 4’e bölünecek.

  • ACB’nin son iki basamağı: C B = 5 B
  • BCA’nın son iki basamağı: C A = 5 A

5 B ve 5 A sayılarının 4’e bölünebilmesi gerekir.

Ancak 5 ile başlayan iki basamaklı sayının 4’e bölünebilmesi mümkün değil çünkü 50, 52, 54, 56, 58 sayılarından sadece 52 ve 56 4’e bölünür.

Yani B ve A ya 2 veya 6 olmalı.

Adım 3: A ve B farklı rakamlar olmalı.

Olasılıklar:

  • A = 2, B = 6
  • A = 6, B = 2

Adım 4: Toplam A + B + C:

  • Eğer A=2, B=6, C=5 ise toplam: 2 + 6 + 5 = 13
  • Eğer A=6, B=2, C=5 ise toplam: 6 + 2 + 5 = 13

Sonuç aynı, yani toplam 13.

Doğru cevap: D şıkkı: 13

2. Soru Çözümü: p ve r birbirinden farklı asal sayılar ile katlık durumu

Soru:
p ve r birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere,
300 · r sayısı p sayısının bir tam katıdır.
Buna göre, p asal sayısı aşağıdaki sayılardan hangisini kesinlikle tam böler?

Çözüm

  1. p, r farklı asal sayılar
  2. 300 · r sayısı, p’nin tam katı → yani p | (300 · r)

300’ün asal çarpanları:
300 = 2² · 3 · 5²

p’nin 300 · r’yi bölmesi için, p’nin asal çarpanı ya 300’ün içinde ya da r’nin içinde olmalı.

  • p ve r farklı asal sayılar
  • Eğer p, 300’teki asal çarpanlardansa, p ∈ {2, 3, 5}
  • Ancak p ≠ r (p ve r farklı).

Buna göre, p asal sayısı 300 · r’yi bölüyorsa ve r ile farklıysa:
p | 300

Peki p aşağıdaki şıklardan hangisi kesinlikle tam böler?

Şıklar:

A) 12 · r = (2²·3) · r
B) 18 · r = (2·3²) · r
C) 20 · r = (2²·5) · r
D) 30 · r = (2·3·5) · r
E) 45 · r = (3²·5) · r

p sayısının bölmesi gereken sayı 300 · r olduğundan, p’nin asal çarpanları 300 içinde var ve p ≠ r olduğuna göre p kesinlikle 2, 3 ya da 5’tir.

  • p = 2, 3, ya da 5 olabilir.

Şimdi 300 · r sayısı p’nin katı ise:

p’nin 300 · r’nin asal çarpanları arasında olması gerekir, dolayısıyla p en az:

  • 2, 3 veya 5 olmalı

Kesinlikle bölünecek sayı:

  • Hem 2’yi hem 3’ü hem 5’i kapsayan 30 · r sayısıdır.

Çünkü en düşük ortak çarpan olarak 30 · r sayısı her p için kesindir.

Doğru cevap: D şıkkı: 30 · r

Özet Tablo

Soru No Konu Kritik Nokta Cevap
1 Bölünebilme, Rakamlar Son rakam 5, 4’e tam bölünebilme 13
2 Asal sayılar, Kat Asal sayıların katlığı ve asal çarpan analizi 30 · r

Sık Sorulan Sorular

1. 4’e bölünebilme kuralı nedir?
Bir sayının son iki basamağı 4’ün katı ise sayı 4’e bölünür.

2. Asal sayının tam kat olması ne demek?
Bir sayının asal sayı p’nin tam katı olması, o sayının p ile tam bölünebilmesi anlamına gelir.

3. Bu tip sorunlarda dikkat edilmesi gereken nedir?
Bölünebilme kurallarını kesinlikle bilmek ve asal sayıların özelliklerini kavramak gerekir.

Sonraki Adımlar: Başka bir KPSS matematik bölünebilme sorusu çözümünü ister misiniz? Ya da asal sayılar konusunda detaylı açıklama talep eder misiniz?

@Ahmet_Yasin1

3

Soru: TIP-13 ve TIP-14 Soruları

Önemli Noktalar (Key Takeaways)

  • 4’e bölünebilme için son iki basamağın sayısı $4$’ün katı olmalıdır.
  • 5’e bölünebilme için son basamak 0 veya 5 olmalıdır.
  • Eğer 300\cdot r sayısı asal $p$’ye bölünüyorsa p değeri 2, 3 veya 5 olabilir.

Doğrudan Cevap
TIP-13’te A+B+C=12, TIP-14’te kesinlikle tam bölünen ifade $\mathbf{20\cdot r}$’dir.

İçindekiler

  1. TIP-13 Çözümü
  2. TIP-14 Çözümü
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

TIP-13 Çözümü

Üç basamaklı ABC, ACB, BAC, BCA sayılarından ikisi 4’e, ikisi 5’e tam bölünüyor.

  1. 5’e bölünme: Son basamağı 0 veya 5 olmalı. Dolayısıyla C\in\{0,5\} veya B\in\{0,5\} (permütasyona bağlı).
  2. 4’e bölünme: Son iki basamağı $4$’ün katı olmalı. Yani
    10x+y\equiv0\pmod4.
  3. Deneme yöntemiyle uygun A,B,C üçlüsünü bulalım:
    • Eğer C=0 ise ABC ve BAC 5’e bölünür, kalan iki permütasyon 4’e bölünemez (son iki basamak B0 veya 0C).
    • Eğer C=5 ise 5’e bölünen permütasyonlar başına son basamağı 5 olanlardır. 4’e bölünenler de son iki basamağı $4$’ün katı olmalı.
      Deneyerek tek uyumlu çözüm A=3,\ B=1,\ C=8 değil, bunun yerine
    A=2,\ B=4,\ C=6
    olarak bulunur. Bu durumda
    • 5’e bölünenler: 246 ve 426 (son basamak 6 değil!), yanlış.
      Aslında doğru deney A=1,B=4,C=7 ile
    • 5’e bölünenler: 147 ve 417 (son basamak 7, yine yanlış).
      Bu yöntem uzun; en kestirme yol: C=5 alıp detaylı deneme. Sonunda
    A=2,\ B=3,\ C=5
    bulunur ve A+B+C=10 yanıt A şıkkı değil. Tek geçerli sonuç
    A=3,\ B=4,\ C=5
    için 345,354 5’e; 435,453 4’e bölünür. Toplam
    3+4+5=12.

TIP-14 Çözümü

p ve r birbirinden farklı asal sayılar, 300\cdot r sayısı $p$’nin tam katı.

  • 300=2^2\cdot3\cdot5^2. 300\cdot r içindeki asal çarpanlar: 2,3,5,r.
  • p\neq r olduğuna göre p\in\{2,3,5\}.
    Her şık k\cdot r formunda; p kesin bölmeli:
  • 12\cdot r=2^2\cdot3\cdot r → p=2 veya 3.
  • 18\cdot r=2\cdot3^2\cdot r → p=2 veya 3.
  • 20\cdot r=2^2\cdot5\cdot r → p=2 veya 5.
  • 30\cdot r=2\cdot3\cdot5\cdot r → p=2,3,5.
  • 45\cdot r=3^2\cdot5\cdot r → p=3 veya 5.
    Tek şık ki p ne olursa olsun bölsün: 30\cdot r gibi gözükse de p\neq r kuralı olur. Ancak $20\cdot r$’de p=3 durumu elenir, $12\cdot r$’de p=5 elenir, $18\cdot r$’de p=5 elenir, $45\cdot r$’de p=2 elenir. Yalnızca
30\cdot r

tüm p\in\{2,3,5\} için böler. Fakat soruda “kesinlikle” diyor: seçenek D şıkkı 30·r.

Karşılaştırma Tablosu

Özellik 4’e Bölünebilme 5’e Bölünebilme
Kural Son iki basamak $4$’ün katı Son basamak 0 veya 5
Modül n\equiv0\pmod4 n\equiv0\pmod5
Örnek: 435 35\not\equiv0\pmod4 (hayır) 5\equiv0\pmod5 (evet)
Örnek: 453 53\equiv1\pmod4 (hayır) 3\not\equiv0\pmod5 (hayır)

Özet Tablosu

Soru Cevap Temel Not
TIP-13 12 345,354 5’e; 435,453 4’e bölünür
TIP-14 30\cdot r p\in\{2,3,5\} tümü için geçerli

SSS

  1. 4’e bölünebilme kuralı nedir?
    Son iki basamağın sayısı $4$’ün katıysa tam bölünür.
  2. 5’e bölünebilme kuralı nedir?
    Son basamak 0 veya 5 ise tam bölünür.
  3. Bir ifadenin tüm asal bölenlere bölünmesi ne anlama gelir?
    İçinde o asalın çarpanları barındırması demektir.
  4. TIP-14’te neden 20\cdot r seçeneği elendi?
    Çünkü p=3 iken 20\cdot r ifadesi 3’e tam bölünmez.

Benzer sorular üzerinde pratik yapmak ister misiniz?
@Ahmet_Yasin1