Jejdhdhdj

LİSE 9.Sınıf Matematik
,
1

IMG_20251112_120844
IMG_20251112_120844720×772 43.3 KB

2

Soru: Kapılar kapandığında turuncu renkli bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevap:

Öncelikle soruyu ve verilen bilgileri dikkatlice inceleyelim.

Sorunun Özeti:

  • İş merkezinde farklı raylar üzerinde çalışan sürgülü giriş kapısı var.
  • Kapılar kapandığında:
    • A noktası B noktasına,
    • D noktası C noktasına gelmektedir.
  • Hareketli kapılar sarı ve pembe renkli camlardan yapılmıştır.
  • Karşıdan bakan kişi, sarı ve pembe bölgelerin kesişimini turuncu olarak görmektedir.
  • Bizden istenen, kapılar kapandığında oluşan turuncu bölgenin alanını bulmak.

1. Şeklin ve Verilen Ölçülerin Analizi

Şekilde dört nokta var: A, B, C, D.

  • Kapılar kapandığında:
    • A → B,
    • D → C.

Verilen uzunluklar:

Bölüm Uzunluk (birim cinsinden)
AB 8\sqrt{2}
BC 10\sqrt{2}
CD 6\sqrt{2}
Kapı yüksekliği 10\sqrt{2}

2. Turuncu Bölgeyi Anlama

  • Turuncu bölge, sarı ve pembe bölgelerin kesişimidir.
  • Kapılar kapandığında, sarı bölge A’dan B’ye kayar.
  • Pembe bölge ise D’den C’ye kayar.
  • Kesişim, kapıların üst üste bindiği alanı ifade eder.

3. Kesişim Alanının Hesaplanması

Kapıların yatayda kapladığı alanlar:

  • Sarı bölge başlangıçta: AB = 8\sqrt{2}

  • Sarı bölge kapandığında: B noktasına gelir, yani 8\sqrt{2} kadar sağa kayar.

  • Pembe bölge başlangıçta: CD = 6\sqrt{2}

  • Pembe bölge kapandığında: C noktasına gelir, yani 6\sqrt{2} kadar sola kayar.

Kesişim uzunluğu:

  • Sarı bölge kapandığında B noktasına gelir.
  • Pembe bölge kapandığında C noktasına gelir.
  • B ile C arası mesafe: BC = 10\sqrt{2}

Bu durumda, kapılar kapandığında sarı bölge B noktasında, pembe bölge C noktasında.

Kesişim uzunluğu:

\text{Kesişim} = AB + CD - BC = 8\sqrt{2} + 6\sqrt{2} - 10\sqrt{2} = (8 + 6 - 10)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}

4. Turuncu Bölgenin Alanı

  • Kesişim alanı = Kesişim uzunluğu × Kapı yüksekliği
  • Kapı yüksekliği = 10\sqrt{2}

Buna göre:

\text{Alan} = 4\sqrt{2} \times 10\sqrt{2} = 4 \times 10 \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) = 40 \times 2 = 80

5. Sonuç

Kapılar kapandığında turuncu renkli bölgenin alanı 80 birimkaredir.

Özet Tablosu

Özellik Değer
AB uzunluğu 8\sqrt{2}
BC uzunluğu 10\sqrt{2}
CD uzunluğu 6\sqrt{2}
Kapı yüksekliği 10\sqrt{2}
Kesişim uzunluğu 4\sqrt{2}
Turuncu bölge alanı 80 birimkare

Özetle, kapılar kapandığında sarı ve pembe bölgelerin kesişimi olan turuncu bölgenin alanı 80 birimkaredir.

@anonim118

3

Question:

Kapılar kapandığında turuncu renkli bölgenin alanı kaç birimkare olur?

Table of Contents

  2. Koordinat Sistemi Kurulumu
  4. Kapanma Hareketinin Analizi

1. Problem Tanımı

Bir iş merkezinin girişinde, iki kenarı renkli cam (sarı ve pembe), iki kenarı şeffaf cam panellerden oluşan dört kayar kapı bulunmaktadır.

  • Yükseklik tüm paneller için 10\sqrt2 birim.
  • Genişlikler sırasıyla sol renkli panel: 8\sqrt2, iki orta şeffaf panelin toplamı: 10\sqrt2, sağ renkli panel: 6\sqrt2.
  • Kapılar kapanırken sol paneldeki A noktası, ikinci panelin sol kenarındaki B noktasına; sağ paneldeki D noktası ise üçüncü panelin sağ kenarındaki C noktasına gelir.
    Ön cepheden bakıldığında sarı ve pembe bölgelerin kesişimi turuncu renkte görünür. Amacımız, kapanma sonrası overlapping (örtüşen) turuncu bölgenin alanını hesaplamaktır.

2. Koordinat Sistemi Kurulumu

  1. X‐eksenini kapı taban çizgisi boyunca, sol uç x=0 olarak alalım.
  2. Paneller yatayda artan x koordinatıyla gösterilsin.
  3. Yükseklik y ekseninde 0\le y \le 10\sqrt2 aralığında sabittir.

3. Panellerin Başlangıç Konumları

Aşağıdaki tabloda panellerin ilk konumları (kapanma öncesi) özetlenmiştir:

Panel No Renk Başlangıç Intervali (x aralığı) Genişlik
1 Renkli (sol) [0,\;8\sqrt2] 8\sqrt2
2 Şeffaf [8\sqrt2,\;8\sqrt2+5\sqrt2] 5\sqrt2
3 Şeffaf [13\sqrt2,\;13\sqrt2+5\sqrt2] 5\sqrt2
4 Renkli (sağ) [18\sqrt2,\;24\sqrt2] 6\sqrt2

Not: Orta şeffaf paneller toplam 10\sqrt2 genişlikte olup iki eşit parçaya bölünmüştür.

4. Kapanma Hareketinin Analizi

  • Sol renkli panel: A noktası (x=0) kapanınca B noktası (x=8\sqrt2) konumuna gelir.
    • Dolayısıyla sağa 8\sqrt2 kadar kayar.
  • Sağ renkli panel: D noktası (x=24\sqrt2) kapanınca C noktası (x=18\sqrt2) konumuna gelir.
    • Dolayısıyla sola 6\sqrt2 kadar kayar.

Bu kayma sonucu final konumları:

Panel Kayma (Δx) Final Interval (x aralığı)
Sol renkli +8\sqrt2 [8\sqrt2,\;16\sqrt2]
Sağ renkli -6\sqrt2 [12\sqrt2,\;18\sqrt2]

5. Turuncu Bölgenin Hesaplanması

Turuncu bölge, sol ve sağ renkli panellerin kapanma sonrası örtüştüğü (kesiştiği) bölgedir.

  1. Örtüşme aralığı
    • Sol panel: [8\sqrt2,\;16\sqrt2]
    • Sağ panel: [12\sqrt2,\;18\sqrt2]
    → Kesişim aralığı:
[\,\max(8\sqrt2,12\sqrt2),\;\min(16\sqrt2,18\sqrt2)\,] = [\,12\sqrt2,\;16\sqrt2\,]
  1. Örtüşme genişliği
16\sqrt2 - 12\sqrt2 = 4\sqrt2
  1. Yükseklik
    Tüm panellerin yüksekliği aynıdır: 10\sqrt2.
  2. Bölgenin alanı
\text{Alan} = (\text{örtüşme genişliği}) \times (\text{yükseklik}) = (4\sqrt2)\times(10\sqrt2) = 4\times10\times(\sqrt2\times\sqrt2) = 40 \times 2 = \mathbf{80}

6. Özet Tablosu

Adım İfade Sonuç
Örtüşme aralığı [12\sqrt2,\;16\sqrt2] —
Örtüşme genişliği 16\sqrt2 - 12\sqrt2 4\sqrt2
Yükseklik — 10\sqrt2
Turuncu bölge alanı formülü (4\sqrt2)\times(10\sqrt2) —
Turuncu bölge alanı — 80

7. Sonuç

Kapılar tamamen kapandığında renkli cam panellerin örtüşme genişliği 4\sqrt2 birim, yüksekliği ise 10\sqrt2 birimdir. Buna göre turuncu bölgenin alanı:

$
\boxed{80}
$

buimkare olarak bulunur. @anonim118