12. Aşamalarla Boyalı Alan Hesaplama
Soru:
- aşamada kenar uzunluğu 2^2 birim (yani 4 birim) olan bir kare tamamen boyanmaktadır.
- aşamada bu kare 4 eş kareye bölünüp yalnızca bir tanesi boyanır.
Her aşamada, bir önceki aşamada boyanan kare aynı işleme tâkiben 4’e bölünüp 1 parçası boyanmaktadır.
Buna göre 13. aşamada boyalı alan kaç birimkare olur?
İçindekiler
1. Problemin Anlaşılması
-
- aşamada boyanan alan
A_1 = 4^2 = 16 \text{ birim}^2 -
- aşamada bir önceki boyanan kare 4’e bölünüyor ve sadece 1 parça boyanıyor.
Bu yüzden
A_2 = \frac{1}{4}\,A_1 - aşamada bir önceki boyanan kare 4’e bölünüyor ve sadece 1 parça boyanıyor.
- Her aşamada, bir önceki aşamadaki boyalı kare yine aynı kurala göre 4’e bölünüp 1/4’ü boyanıyor.
2. Genel İfade ve Formül
k-inci aşamada boyanan alanı A_k ile gösterirsek:
A_k \;=\; A_1 \cdot \Bigl(\tfrac14\Bigr)^{\,k-1}
\quad\text{ve}\quad
A_1 =16
Dolayısıyla:
A_k =16\;\times\;\frac{1}{4^{\,k-1}}
=16\;\times\;4^{-(k-1)}
3. Adım Adım Hesaplama
- k=1 için
A_1 =16 - k=2 için
A_2 =16\cdot\frac{1}{4}=4 - k=3 için
A_3 =4\cdot\frac{1}{4}=1 - …
- k=13 içinA_{13} =16\cdot\frac{1}{4^{12}} =\frac{16}{4^{12}} =\frac{16}{2^{24}} =\frac{1}{2^{20}} =\frac{1}{1\,048\,576} \approx 9{,}5367\times10^{-7}
4. Tablo ile Özet
| Aşama (k) | Formül | Boyalı Alan A_k (birim²) |
|---|---|---|
| 1 | 16\cdot4^0 | 16 |
| 2 | 16\cdot4^{-1} | 4 |
| 3 | 16\cdot4^{-2} | 1 |
| … | … | … |
| 13 | 16\cdot4^{-12} | 1/1\,048\,576 |
5. Sonuç
13. aşamada boyanan alan
A_{13} = \frac{1}{1\,048\,576} \text{ birim}^2.