İstatistik

Ozlem_Avci · Mart 23, 2026, 9:12öö

ÖRNEK SORU • Öğrencilerin genel yetenek puanları ile başarılı-başarısız olarak Sinif la ndirilmaları arasında ilişki var mıdur? (Başarı durumu, yetenek puanlarının kesme noktası kullanılarak oluşturulmuştur.) • Kesme noktası: 6 ve üzeri = Başarılı (1) • 6’nin altı = BaşarısIz (0) Öğrenci A B C D E Yetenek Puanı (Sürekli X) 9 7 6 4 2 Başarı Durumu (Y) 1 1 1 21 0 22

!Resim [Link Silindi]

Egitim_Danismani · Mart 23, 2026, 9:12öö

SORU: Öğrencilerin genel yetenek puanları ile başarılı-başarısız olarak sınıflandırılmaları arasında ilişki var mıdır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

Ki-kare testi (χ² testi): Kategorik değişkenlerin ilişkisinin testinden önce kullanılır.
Point Biserial Korelasyon: Sürekli ve ikili değişken arasındaki ilişki için kullanılır.
Bağımlı ve bağımsız değişken tanımları:
- Bağımsız değişken: Yetenek Puanı (Sürekli)
- Bağımlı değişken: Başarı Durumu (Başarılı=1, Başarısız=0)

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verileri hazırlama
Yetenek Puanları ve başarı durumu verileri alfabetik sıralı:

Öğrenci	Yetenek Puanı (X)	Başarı Durumu (Y)
A	9	1
B	7	1
C	6	1
D	4	0
E	2	0

Başarı durumu 6 ve üzeri puanlarda 1, altında 0 olarak belirlenmiş.

Adım 2 — İstatistiksel analiz yöntemini seçme
Başarı durumu kategorik, yetenek puanı sürekli olduğundan:

Point Biserial Korelasyon uygulanabilir veya
Yetenek puanı eşik değere göre kategorize edilip Ki-kare testi yapılabilir.

Adım 3 — Point Biserial Korelasyon hesaplama (örnek)
Formül:

r_{pb} = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_0}{s_X} \sqrt{\frac{n_1 n_0}{n^2}}

\bar{X}_1: Başarılı grubunun ortalama puanı
\bar{X}_0: Başarısız grubunun ortalama puanı
s_X: Tüm puanların standart sapması
n_1: Başarılı öğrenci sayısı
n_0: Başarısız öğrenci sayısı
n: Toplam öğrenci sayısı

Öncelikle verileri gruplayalım:
Başarılı olanların puanları: 9, 7, 6
Başarısız olanların puanları: 4, 2

\bar{X}_1 = \frac{9 + 7 + 6}{3} = \frac{22}{3} \approx 7.33
\bar{X}_0 = \frac{4 + 2}{2} = 3

Tüm puanların ortalaması:

\bar{X} = \frac{9 + 7 + 6 + 4 + 2}{5} = \frac{28}{5} = 5.6

Standart sapma s_X:

s_X = \sqrt{\frac{\sum (X_i - \bar{X})^2}{n-1}} = \sqrt{\frac{(9-5.6)^2 + (7-5.6)^2 + (6-5.6)^2 + (4-5.6)^2 + (2-5.6)^2}{4}}

= \sqrt{\frac{(3.4)^2 + (1.4)^2 + (0.4)^2 + (-1.6)^2 + (-3.6)^2}{4}} = \sqrt{\frac{11.56 + 1.96 + 0.16 + 2.56 + 12.96}{4}}

= \sqrt{\frac{29.2}{4}} = \sqrt{7.3} \approx 2.7

Toplam öğrenci sayısı: n=5, başarılı sayısı n_1=3, başarısız sayısı n_0=2

Şimdi korelasyonu hesaplayalım:

r_{pb} = \frac{7.33 - 3}{2.7} \times \sqrt{\frac{3 \times 2}{5^2}} = \frac{4.33}{2.7} \times \sqrt{\frac{6}{25}} = 1.6 \times \sqrt{0.24} = 1.6 \times 0.49 = 0.78

Adım 4 — Sonuç yorumlama

Point biserial korelasyon r_{pb} = 0.78 pozitif ve yüksek seviyede, bu da yetenek puanları ile başarı durumu arasında anlamlı bir ilişki olduğunu gösterir.
Yani puan yükseldikçe başarılı olma olasılığı artmaktadır.

CEVAP: Öğrencilerin genel yetenek puanları ile başarılı/başarısız olarak sınıflandırılmaları arasında güçlü ve pozitif bir ilişki vardır.

TEMEL KAVRAMLAR:

Point Biserial Korelasyon

Tanım: Sürekli ve ikili kategorik değişken arasındaki ilişkiyi gösterir.
Bu problemde: Yetenek puanı (sürekli) ile başarı durumu (ikili) arasındaki ilişkiyi ölçtü.

Ki-kare Testi

Tanım: İki kategorik değişkenin ilişkisinin istatistiksel analizi.
Bu problemde: Başarı durumuna göre gruplandırılıp yapılabilir ama veri az sayıda.

SIK YAPILAN HATALAR:

Analiz türünün yanlış seçilmesi

Yanlış: Sürekli veriye doğrudan Ki-kare testi uygulamak.
Doğru: Sürekli ve ikili değişken ilişkisi için Point Biserial Korelasyon veya Sürekli veriyi kategorize edip Ki-kare testi yapmak.
Neden yanlış: Ki-kare testi kategorik veriler içindir, sürekli veri için uygun değildir.
Düzeltme: Yukarıdaki hesaplama gibi uygun korelasyonu kullan.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

Sinav_Rehberi · Mart 23, 2026, 9:13öö

SORU: Öğrencilerin genel yetenek puanları (Sürekli X) ile başarılı-başarısız (Y, 1/0) sınıflandırması arasında ilişki var mı?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

Pearson korelasyon katsayısı:
r=\dfrac{\sum (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum (x_i-\overline{x})^2 \sum (y_i-\overline{y})^2}}

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verileri yaz

X=\{9,7,6,4,2\}
Y=\{1,1,1,0,0\}
n=5

Adım 2 — Ortalamaları hesapla

\overline{x}=\dfrac{9+7+6+4+2}{5}=\dfrac{28}{5}=5.6
\overline{y}=\dfrac{1+1+1+0+0}{5}=\dfrac{3}{5}=0.6

Adım 3 — Sapmalar ve çarpımlar (her gözlem için)

x_1-\overline{x}=9-5.6=3.4,\; y_1-\overline{y}=1-0.6=0.4,\; (x_1-\overline{x})(y_1-\overline{y})=1.36
x_2-\overline{x}=7-5.6=1.4,\; y_2-\overline{y}=0.4,\; (x_2-\overline{x})(y_2-\overline{y})=0.56
x_3-\overline{x}=6-5.6=0.4,\; y_3-\overline{y}=0.4,\; (x_3-\overline{x})(y_3-\overline{y})=0.16
x_4-\overline{x}=4-5.6=-1.6,\; y_4-\overline{y}=0-0.6=-0.6,\; (x_4-\overline{x})(y_4-\overline{y})=0.96
x_5-\overline{x}=2-5.6=-3.6,\; y_5-\overline{y}=-0.6,\; (x_5-\overline{x})(y_5-\overline{y})=2.16
\sum (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})=1.36+0.56+0.16+0.96+2.16=5.20

Adım 4 — Karesel sapmaların toplamı

\sum (x_i-\overline{x})^2=11.56+1.96+0.16+2.56+12.96=29.20
\sum (y_i-\overline{y})^2=0.16+0.16+0.16+0.36+0.36=1.20

Adım 5 — Pearson korelasyonunu hesapla

r=\dfrac{5.20}{\sqrt{29.20\times 1.20}}=\dfrac{5.20}{\sqrt{35.04}}=\dfrac{5.20}{5.92}\approx 0.8784

Adım 6 — Yorum

Korelasyon pozitif ve güçlüdür; yetenek puanı arttıkça başarılı olma (Y=1) olasılığı artmaktadır.

TEMEL KAVRAMLAR:

Korelasyon

Tanım: İki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin yönünü ve büyüklüğünü ölçer.
Bu problemde: Pearson r ≈ 0.878 ile pozitif, güçlü ilişki gösterir.

Point-biserial korelasyon

Tanım: Bir sürekli değişken ile ikili (0/1) değişken arasındaki özel bir korelasyon türüdür (Pearson ile eşdeğer).
Bu problemde: Y kodlandığı için Pearson r doğrudan yorumlanabilir.

SIK YAPILAN HATALAR:

Ortalamaları karıştırmak

Yanlış: X ortalaması yerine Y ortalaması kullanmak.
Doğru: Her değişkenin kendi ortalaması kullanılmalı.
Neden yanlış: Hesaplar sapmalara ve kovaryansa dayanır.
Düzeltme: Her adımda hangi ortalamanın kullanıldığını net yaz.

Standart sapma tanımı

Yanlış: Formülde kullanılan s’nin nüfus mu yoksa örnek mi olduğu karışması.
Doğru: Pearson r hesaplamasında toplam kare sapmalar (nümeratör ve payda tutarlı kullanılmalı); burada doğrudan toplam kare sapmaları kullanarak r hesapladık.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!

CEVAP: Pearson korelasyon katsayısı r\approx 0.878 — pozitif ve güçlü bir ilişki vardır (yetenek puanı yükseldikçe başarı olasılığı artar).