İstatistik

Üniversite
1

Öğrenci A B C D E F Çalışma Süresi (saat) 3 Snav Puanı 60 75 75 90 55 95 4 6 2 7 Bir araştırmacı öğrencilerin haftalık ders çalışma süresi ile sinav başarı sıraları arasındaki ilişkiyi incelemek istemektedir. Bunun için 6 öğrenciden veri toplamıştır. aralarındaki ilişkiyi bulun

!Resim [Link Silindi]

2

:pushpin: SORU: 6 öğrencinin haftalık ders çalışma süresi ile sınav puanları arasındaki ilişkiyi bulun.

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Pearson korelasyon katsayısı (r):

r = \frac{n\sum xy - (\sum x)(\sum y)}{\sqrt{[n\sum x^2 - (\sum x)^2][n\sum y^2 - (\sum y)^2]}}

Burada:

  • x = çalışma süresi
  • y = sınav puanı
  • n = veri sayısı

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verileri Tabloya Yerleştir

Öğrenci Çalışma Süresi x Sınav Puanı y x \cdot y x^2 y^2
A 3 60 180 9 3600
B 5 75 375 25 5625
C 4 75 300 16 5625
D 6 90 540 36 8100
E 2 55 110 4 3025
F 7 95 665 49 9025

Adım 2 — Gerekli Toplamları Hesapla

\sum x = 3 + 5 + 4 + 6 + 2 + 7 = 27
\sum y = 60 + 75 + 75 + 90 + 55 + 95 = 450
\sum xy = 180 + 375 + 300 + 540 + 110 + 665 = 2170
\sum x^2 = 9 + 25 + 16 + 36 + 4 + 49 = 139
\sum y^2 = 3600 + 5625 + 5625 + 8100 + 3025 + 9025 = 35000

Adım 3 — Pearson Korelasyon Katsayısını Hesapla

r = \frac{6(2170) - (27)(450)}{\sqrt{[6(139) - 27^2][6(35000) - 450^2]}}
r = \frac{13020 - 12150}{\sqrt{(834 - 729)(210000 - 202500)}}
r = \frac{870}{\sqrt{105 \times 7500}} = \frac{870}{\sqrt{787500}} = \frac{870}{887.45} \approx 0.98

:white_check_mark: CEVAP: Öğrencilerin haftalık çalışma süresi ile sınav puanları arasında 0.98 anlamlı ve güçlü bir pozitif korelasyon vardır.

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Korelasyon Katsayısı (r): İki değişken arasındaki ilişkinin yönünü ve gücünü ölçer; -1 ile +1 arasında değer alır.
  2. Pozitif Korelasyon: Bir değişken artarken diğerinin de arttığını gösterir.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

SORU: Bir araştırmacı 6 öğrencinin haftalık çalışma süresi ile sınav puanları arasındaki ilişkiyi incelemek istiyor. Veriler: A(3,60), B(5,75), C(4,75), D(6,90), E(2,55), F(7,95). İlişkiyi bulun.

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Pearson Korelasyon Katsayısı: r=\dfrac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 \;\sum_{i=1}^n (y_i-\bar{y})^2}}
  • Doğrusal Regresyon (Eğim ve Kesme): b=\dfrac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum (x_i-\bar{x})^2},\quad a=\bar{y}-b\bar{x} ve tahmin: \hat{y}=a+bx

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verileri ve ortalamaları

  • n=6
  • x değerleri: 3,5,4,6,2,7
  • y değerleri: 60,75,75,90,55,95
  • \sum x=3+5+4+6+2+7=27
  • \bar{x}=\dfrac{27}{6}=4.5
  • \sum y=60+75+75+90+55+95=450
  • \bar{y}=\dfrac{450}{6}=75

Adım 2 — Sapmalar, çarpımlar ve kareler (her satır ayrı)

  • A: x_A-\bar{x}=3-4.5=-1.5
  • A: y_A-\bar{y}=60-75=-15
  • A: (x_A-\bar{x})(y_A-\bar{y})=(-1.5)(-15)=22.5
  • A: (x_A-\bar{x})^2=(-1.5)^2=2.25
  • A: (y_A-\bar{y})^2=(-15)^2=225
  • B: x_B-\bar{x}=5-4.5=0.5
  • B: y_B-\bar{y}=75-75=0
  • B: (x_B-\bar{x})(y_B-\bar{y})=0.5\cdot 0=0
  • B: (x_B-\bar{x})^2=0.5^2=0.25
  • B: (y_B-\bar{y})^2=0^2=0
  • C: x_C-\bar{x}=4-4.5=-0.5
  • C: y_C-\bar{y}=75-75=0
  • C: (x_C-\bar{x})(y_C-\bar{y})=(-0.5)\cdot 0=0
  • C: (x_C-\bar{x})^2=(-0.5)^2=0.25
  • C: (y_C-\bar{y})^2=0^2=0
  • D: x_D-\bar{x}=6-4.5=1.5
  • D: y_D-\bar{y}=90-75=15
  • D: (x_D-\bar{x})(y_D-\bar{y})=1.5\cdot 15=22.5
  • D: (x_D-\bar{x})^2=1.5^2=2.25
  • D: (y_D-\bar{y})^2=15^2=225
  • E: x_E-\bar{x}=2-4.5=-2.5
  • E: y_E-\bar{y}=55-75=-20
  • E: (x_E-\bar{x})(y_E-\bar{y})=(-2.5)(-20)=50
  • E: (x_E-\bar{x})^2=(-2.5)^2=6.25
  • E: (y_E-\bar{y})^2=(-20)^2=400
  • F: x_F-\bar{x}=7-4.5=2.5
  • F: y_F-\bar{y}=95-75=20
  • F: (x_F-\bar{x})(y_F-\bar{y})=2.5\cdot 20=50
  • F: (x_F-\bar{x})^2=2.5^2=6.25
  • F: (y_F-\bar{y})^2=20^2=400
  • \sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=22.5+0+0+22.5+50+50=145
  • \sum (x_i-\bar{x})^2=2.25+0.25+0.25+2.25+6.25+6.25=17.5
  • \sum (y_i-\bar{y})^2=225+0+0+225+400+400=1250

Adım 3 — Pearson korelasyon katsayısı hesaplama

  • r=\dfrac{145}{\sqrt{17.5\cdot 1250}}
  • 17.5\cdot 1250=21875
  • \sqrt{21875}=25\sqrt{35}
  • r=\dfrac{145}{25\sqrt{35}}=\dfrac{5.8}{\sqrt{35}}\approx 0.9803

Adım 4 — Doğrusal regresyon katsayıları

  • b=\dfrac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum (x_i-\bar{x})^2}=\dfrac{145}{17.5}
  • \dfrac{145}{17.5}=\dfrac{290}{35}=\dfrac{58}{7}\approx 8.285714
  • a=\bar{y}-b\bar{x}=75-(8.285714)(4.5)
  • b\bar{x}=8.285714\cdot 4.5=37.285714
  • a=75-37.285714=37.714286
  • Regresyon doğrusu: \hat{y}=37.714286+8.285714x

TEMEL KAVRAMLAR:

1. Korelasyon

  • Tanım: İki nicelik arasında doğrusal ilişki gücünü ve yönünü ölçen değerdir.
  • Bu problemde: r\approx 0.98 olması güçlü pozitif doğrusal ilişki gösterir.

2. Regresyon

  • Tanım: Bir değişkene (x) göre diğer değişkenin (y) tahmini için doğrusal denklemdir.
  • Bu problemde: Her ek saat çalışma yaklaşık olarak sınav puanını 8.286 puan artırır (ortalama eğilim).

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Ortalama yerine medyan kullanmak

  • Yanlış: Korelasyon hesaplarında medyan kullanmak.
  • Doğru: Korelasyon ve regresyon için ortalamalar kullanılır.
  • Neden yanlış: Formül ortalamalara göre sapmalarla çalışır.
  • Düzeltme: \bar{x},\bar{y} değerlerini kullan.

:cross_mark: Bölücüyü yanlış almak

  • Yanlış: r hesaplanırken paydanın \sum (x_i-\bar{x})^2 ya da \sum (y_i-\bar{y})^2 yerine yanlış değerle çarpılması.
  • Doğru: Payda \sqrt{\sum (x_i-\bar{x})^2 \sum (y_i-\bar{y})^2} olmalı.
  • Neden yanlış: Yanlış payda r değerini bozarak hatalı yorum sağlar.
  • Düzeltme: Her toplamı doğru hesapla ve çarp.

:white_check_mark: CEVAP: Pearson korelasyon katsayısı r\approx 0.9803 (çok güçlü pozitif ilişki). Doğrusal regresyon doğrusu: \hat{y}=37.7143+8.2857x. Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?