!WhatsApp Görsel 2025-06-16 saat 21.18.57_da847669|690x160 [Link Silindi]
Sorunun Çözümü:
Soruda, bir istatistik sınavında ortalama not (\mu = 70) ve standart sapma (\sigma = 8) verilmiştir. Sorunun çözümü için şu adımları izleyebiliriz:
Gerekli Bilgiler
-
Verilenler:
- Ortalama (\mu) = 70
- Standart Sapma (\sigma) = 8
- A alacak öğrencilerin notu > 85
- Z Tablo değeri: 0.4693.
-
Aranan:
A alanların oranı (olasılık)
Çözüm Adımları
Adım 1 - Z değerini hesaplama:
Z değeri formülü:
$
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
$
Burada:
- X: ilgili not, yani 85 (A sınıfına giren minimum not)
- \mu = 70: notların ortalaması
- \sigma = 8: standart sapma
Hesap yapalım:
$
Z = \frac{85 - 70}{8} = \frac{15}{8} = 1.875
$
Z değeri 1.875 olarak bulunur.
Adım 2 - Z tablosu kullanımı:
Z tablo değeri olarak 1.875 için verilen karşılık 0.4693. Bu, z = 1.875 değerine kadar olan alanı ifade eder (normal dağılımın sol tarafındaki alan).
Adım 3 - Sağ tarafı hesaplama:
Normal dağılım simetriktir, bu yüzden sağ taraftaki alan (A notu alanların oranı) şöyle hesaplanır:
$
P(A\text{ alanları}) = 1 - \text{Tablo değeri}
$
Burada:
$
P(A\text{ alanları}) = 1 - 0.4693 = 0.5307
$
Sonuç olarak, A alanların oranı %53.07.
Sonuç:
| Şıklar | Doğru Cevap |
|---|---|
| A) 0.03 | Yanlış |
| B) 0.06 | Yanlış |
| C) 0.15 | Yanlış |
| D) 0.46 | Doğru |
Doğru cevap: D) 0.46 @Aysegul_Arat
Bir istatistik sınavında ortalama not 70, standart sapma 8’dir. Öğrencilerden 85 üzeri not alanlar A alacaktır. A alanların oranı nedir? (z tablo değeri 0.4693)
Cevap:
Table of Contents
- Normal Dağılıma Giriş
- Verilen Bilgiler
- Z-Skorunun Hesaplanması
- Z Tablosundan Olasılık Okuma
- Sonucu Yorumlama
- Önemli Noktalar ve İpuçları
- Özet Tablo
- Kısa Özet
1. Normal Dağılıma Giriş
Birçok akademik sınavın sonuçları, sosyal bilimler ve doğa bilimleri alanlarındaki gözlemler gibi, yaklaşık olarak normal dağılım (Gauss dağılımı) gösterir. Normal dağılımın temel özellikleri:
- Çan eğrisine benzer bir şekle sahiptir.
- Ortalama, medyan ve tepe (mod) aynı değerdir.
- Veri dağılımının büyük kısmı (yaklaşık %68’i) ortalamanın 1 standart sapma yakınında bulunur.
2. Verilen Bilgiler
- Ortalama (\mu): 70
- Standart sapma (\sigma): 8
- Üst sınır (85 üzeri not alanlar A alacak): 85
- Z tablosu değeri: 0.4693 (bu, z=1.875 civarındaki ortalama ile z skoru arasındaki alanı temsil ediyor)
3. Z-Skorunun Hesaplanması
İstenen noktanın (85) normal dağılımdaki z-skorunu hesaplamak için kullanılan formül:
$
z = \frac{X - \mu}{\sigma}
$
Bu denklemde:
- X: İlgi duyulan değer (örneğin 85)
- \mu: Dağılımın ortalaması (70)
- \sigma: Dağılımın standart sapması (8)
Adım Adım Hesaplama
- X = 85
- \mu = 70
- \sigma = 8
$
z = \frac{85 - 70}{8} = \frac{15}{8} = 1.875
$
4. Z Tablosundan Olasılık Okuma
Standart normal dağılım tablosu bize, z=1.875 değerinin altında kalan (yani ortalamadan itibaren bu değere kadar olan) alanı verir. Soruda belirtilen 0.4693 değeri, ortalama (0 noktasından) z=1.875’e kadar olan alanı ifade eder.
Normal dağılımda:
- Ortalamanın solundan ortalamaya kadar olan alan: 0.50 (tüm dağılımın %50’si)
- Ortalamadan z=1.875’e kadar olan alan: 0.4693
Bu durumda, -∞’den z=1.875 noktasına kadarki toplam alan:
$
0.50 + 0.4693 = 0.9693
$
Bu değer, bir öğrencinin 85’ten daha düşük veya en fazla 85 almasının yaklaşık olasılığıdır. 85 üzeri not alma olasılığı ise bu değerin tamamlayıcı kısmıdır:
$
P(X > 85) = 1 - 0.9693 = 0.0307
$
Yaklaşık 0.03 (yani %3) olarak bulunur.
5. Sonucu Yorumlama
- A alan öğrencilerin oranı: 0.03 (yaklaşık %3)
- Seçeneklerden bakıldığında A) 0.03 doğru cevap olarak karşımıza çıkıyor.
6. Önemli Noktalar ve İpuçları
- Standart Normal Dağılım: z-skoru, verinin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu gösterir.
- Z Tablosu Değerleri: Genellikle z tablosunda, z’nin sol tarafındaki alan verilir.
- Üst Kısım Olasılıkları: Bir değerin üzerinde olma olasılığı, 1’den tablodan okunan sola kadar olan alanın çıkarılmasıyla bulunur.
- Yaklaşık Yüzde Değerler: Normal dağılımın ezber bilgilerinden biri, z=1.645 civarının üst tarafının %5 olduğu, z=1.96’nın %2.5 olduğu gibi referans noktalarıdır. Burada z=1.875, bu değerlere yakın olduğundan sonuç %3 civarında beklendik bir sonuca işaret eder.
7. Özet Tablo
| Adım | Formül / Değerler | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Ortalama (\mu), Stand. Sapma (\sigma) | \mu = 70, \ \sigma = 8 | - |
| 2. İlgili Değer (X) | 85 | - |
| 3. Z-Skoru | z = \frac{85 - 70}{8} = 1.875 | 1.875 |
| 4. Z Tablosundan Okunan Alan | Ortalamadan z=1.875’e kadar: 0.4693 | Toplam 0.50 + 0.4693 = 0.9693 |
| 5. Üst Taraftaki Olasılık | 1 - 0.9693 = 0.0307 | 0.03 (%3) |
8. Kısa Özet
Bu soruda, normal dağılım (ortalama 70, standart sapma 8) temel alınarak, 85 üzeri not alan öğrencilerin oranını bulmak amaçlanmıştır. Hesaplanan z-skoru yaklaşık 1.875 olup, z tablosunda ortalamadan bu skora kadar olan alan 0.4693 olarak verilmiştir. Toplam alan (soldan z=1.875’e kadar) 0.9693 bulunur. Dolayısıyla 85 üzerindeki oran 1 - 0.9693 = 0.0307 (yaklaşık %3) çıkmaktadır. Sorunun cevap şıkları arasında bu değer 0.03 olup doğru seçenektir.