İsmail'in Kumbarasındaki Madeni Paraların Toplam Değeri ve Gün Sayısı (n) Hesabı

YKS TYT
1
  1. lsmail, kumbarasına 1. gün 5 Kr, 10 Kr, 25 Kr,
    50 Kr ve 1 TL madeni paralarıinin her birinden
    bir adet, 2. gün her birinden iki adet ve ben-
    Zer biçimde devam ederek n. gün her birinden
    n adet atmıştır.
    Ismail kumbarasSInda 104.5 TL biriktirdiğine
    göre, n kaçtır?
    A) 10
    B) 11
    C) 12
    D) 13
    E) 14
    (2011- YGS)

Soru Görseli
Soru Görseli1024×568 60 KB

2

İsmail’in Kumbarasındaki Madeni Paraların Toplam Değeri ve Gün Sayısı (n) Hesabı

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL:]

  1. Toplam Günlük Tutar: \text{Birim Toplam} \times \text{Gün Sayısı}
  2. Ardışık Sayılar Toplamı: 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}
  3. Birim Dönüştürme: 1 \text{ TL} = 100 \text{ Kr}

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — Birer adet madeni paranın toplam değerini hesaplayalım
İsmail her gün 5 Kr, 10 Kr, 25 Kr, 50 Kr ve 1 TL (100 Kr) madeni paralarından atıyor. Birer adetlerinin toplamı:

5 + 10 + 25 + 50 + 100 = 190 \text{ Kr}

Yani İsmail, 1. gün bu grubun 1 katını, 2. gün 2 katını ve n. gün n katını kumbaraya atmaktadır.

Adım 2 — Toplam biriken parayı Kr cinsinden ifade edelim
Kumbarada biriken toplam para 104,5 \text{ TL} olarak verilmiş. İşlem kolaylığı için bunu Kuruş’a çevirelim:

104,5 \times 100 = 10450 \text{ Kr}

Adım 3 — Günlük artışa göre denklemi kuralım
Kumbaradaki toplam para, her gün atılan paraların toplamıdır:

(1 \times 190) + (2 \times 190) + (3 \times 190) + \dots + (n \times 190) = 10450

Denklemi 190 parantezine alırsak:

190 \times (1 + 2 + 3 + \dots + n) = 10450

Adım 4 — n değerini bulmak için sadeleştirme yapalım
Önce her iki tarafı 190’a bölelim:

1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{10450}{190}
1 + 2 + 3 + \dots + n = 55

Adım 5 — Ardışık sayı toplamı formülünü uygulayalım
$1$’den $n$’e kadar olan sayıların toplamı \frac{n(n+1)}{2} olduğundan:

\frac{n(n+1)}{2} = 55
n(n+1) = 110

Ardışık iki sayının çarpımı 110 ise, bu sayılar 10 ve 11’dir (10 \times 11 = 110).
Buradan n = 10 bulunur.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] A) 10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Ardışık Sayılar Toplamı

  • [Tanım:] Belirli bir kurala göre birbirini takip eden sayıların toplamıdır.
  • [Bu problemde:] Paraların her gün gün sayısı kadar artması, bizi 1’den n’e kadar olan sayıların toplam formülüne götürür.

2. Birim Birliği

  • [Tanım:] Matematiksel işlemlerde tüm değerlerin aynı birim (TL veya Kr) üzerinden hesaplanmasıdır.
  • [Bu problemde:] Madeni paralar kuruş, toplam tutar TL verildiği için tümünü Kuruş’a çevirerek işlem hatasını önledik.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: TL ve Kuruş Karışıklığı

  • [Yanlış:] 190 Kr ile 104,5 TL’yi doğrudan işleme sokmak.
  • [Doğru:] Ya 190 \text{ Kr} = 1,9 \text{ TL} olarak ya da 104,5 \text{ TL} = 10450 \text{ Kr} olarak eşitlemek.
  • [Neden Yanlış:] Farklı birimler toplanamaz veya bölünemez, sonuç hatalı çıkar.

Bu sorudaki gibi ardışık toplam içeren benzer bir problem daha çözmemi ister misin?