10/315.g10
Vo462
işleminin sonucu kaçtır?
A) 5
9.C 10.C 11.E 12.B
B) V15
C) V3
12
D) V30
E) V45
8A
157
Köklü ve Üslü İfadelerde Bölme İşlemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Köklü ifadeleri üslü biçimde yazma: \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}
- Tabanları aynı olan üslü sayıların bölümü: \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
- Üsleri aynı olan sayıların çarpımı: a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Pay ve Paydadaki Köklü İfadeleri Üslü Sayıya Dönüştürme
Kök derecelerini üslü sayıların paydasına alarak her bir terimi ayrı ayrı rasyonel üs şeklinde yazalım:
Pay:
\sqrt[10]{3^{15} \cdot 5^{10}} = 3^{\frac{15}{10}} \cdot 5^{\frac{10}{10}} = 3^{\frac{3}{2}} \cdot 5^1
Payda:
\sqrt[4]{3^4 \cdot 5^2} = 3^{\frac{4}{4}} \cdot 5^{\frac{2}{4}} = 3^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}}
Adım 2 — İfadeleri Oranlama ve Üsleri Çıkarma
Aynı tabana sahip sayıların üslerini birbirinden çıkararak bölme işlemini gerçekleştirelim:
\frac{3^{\frac{3}{2}} \cdot 5^1}{3^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}}} = 3^{\left(\frac{3}{2} - 1\right)} \cdot 5^{\left(1 - \frac{1}{2}\right)}
= 3^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}
Adım 3 — Ortak Üs Altında Çarpma ve Köklü Gösterim
Üsleri aynı (1/2) olan tabanları ortak üs parantezinde çarpıp karekök içine alalım:
(3 \cdot 5)^{\frac{1}{2}} = 15^{\frac{1}{2}} = \sqrt{15}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) \sqrt{15}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Rasyonel Üs Kuralı: \sqrt[n]{x^m} ifadesi her zaman x^{\frac{m}{n}} şeklinde yazılabilir; bu dönüşüm kök dereceleri farklı olan işlemlerin sadeleştirilmesini oldukça kolaylaştırır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Kök dereceleri eşitlenmeden içteki sayıları doğrudan sadeleştirmeye çalışmak (\frac{3^{15}}{3^4} gibi).- Doğru Yaklaşım: Kök dereceleri farklı olduğunda önce ifadeleri üslü sayıya çevirmek veya kök derecelerini ortak bir katta (en küçük ortak kat) eşitlemek gerekir.
Köklü ve üslü sayılar arasındaki dönüşümlerle ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?