işleminin sonucu kaçtır?
A) \frac{17}{16}
B) \frac{3}{2}
C) 2
D) \frac{8}{3}
E) 3
Verilen Rasyonel İşlemin Sonucunu Bulma
KULLANILAN KURAL:
Matematikte işlem önceliği sırası:
- Parantez içi işlemler
- Çarpma ve bölme işlemleri (aynı önceliğe sahip olduklarında soldan sağa doğru)
- Toplama ve çıkarma işlemleri
- Kesirli ifadelerde pay ve payda ayrı ayrı hesaplandıktan sonra ana bölme işlemi yapılır: \frac{\frac{a}{b}}{c} = \frac{a}{b \cdot c}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Verilen işlem:
\frac{(9 : 2) : 2 + 2}{(2 : 2) \cdot 2 + 2}
Adım 1 — Pay Kısmını Hesaplama
- İlk olarak parantez içindeki bölme işlemi yapılır:(9 : 2) = \frac{9}{2}
- Elde edilen sonuç 2’ye bölünür:\frac{9}{2} : 2 = \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{4}
- Son olarak 2 eklenir:\frac{9}{4} + 2 = \frac{9}{4} + \frac{8}{4} = \frac{17}{4}
Payın değeri \frac{17}{4} olarak bulunur.
Adım 2 — Payda Kısmını Hesaplama
- İlk olarak parantez içindeki bölme işlemi yapılır:(2 : 2) = 1
- Çarpma işlemi gerçekleştirilir:1 \cdot 2 = 2
- Son olarak toplama işlemi yapılır:2 + 2 = 4
Paydanın değeri 4 olarak bulunur.
Adım 3 — Payı Paydaya Bölme
- Bulunan pay ve payda değerleri ana kesir çizgisine yerleştirilir:\frac{\frac{17}{4}}{4} = \frac{17}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{17}{16}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) \frac{17}{16}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. İşlem Önceliği (Aritmetik Hiyerarşi)
- Tanım: Matematiksel bir ifadede işlemlerin hangi sırayla yapılacağını belirleyen kurallar bütünüdür.
- Bu problemde: Hem pay hem de paydada önce parantez içleri, ardından çarpma/bölme, en son toplama işlemi uygulanmıştır.
2. Kesirlerde Bölme İşlemi
- Tanım: Bir kesir başka bir sayıya bölünürken, ikinci sayı ters çevrilip birinci sayıyla çarpılır.
- Bu problemde: Payda bulunan \frac{17}{4} kesri paydadaki 4’e bölünürken \frac{17}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{17}{16} adımı uygulanmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Toplama İşlemini Öncelikli Yapmak
- Yanlış: Paydada (2 : 2) \cdot (2 + 2) = 1 \cdot 4 = 4 şeklinde veya pay kısmında bölme bitmeden toplama yapmak.
- Doğru: İşlem önceliğine göre bölme ve çarpma işlemleri toplama işleminden önce tamamlanmalıdır.
- Neden yanlış: Aritmetik kurallarda çarpma ve bölme işlemleri toplama ve çıkarmaya göre daha yüksek önceliğe sahiptir. Parantez olmadığı sürece toplama öne alınamaz.
Benzer bir işlem önceliği sorusu çözerek konuyu daha iyi pekiştirmek ister misin?
Dört İşlem ve İşlem Önceliği Probleminin Çözümü
KULLANILAN KURAL: İşlem önceliği kurallarına göre sırasıyla:
- Parantez içi işlemler yapılır.
- Çarpma ve bölme işlemleri (aynı önceliğe sahip olduklarında soldan sağa doğru) yapılır.
- Toplama ve çıkarma işlemleri yapılır.
- Kesirli ifadelerde pay ve payda ayrı ayrı hesaplandıktan sonra pay, paydaya bölünür:
\frac{a}{b} = a : b
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kesrin Pay Kısmının Hesaplanması
Paydaki ifade: (9 : 2) : 2 + 2
İlk olarak parantez içi bölme işlemi yapılır:
9 : 2 = \frac{9}{2}
Bulunan sonuç tekrar 2’ye bölünür:
\left(\frac{9}{2}\right) : 2 = \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{4}
Son olarak toplama işlemi tamamlanır:
\frac{9}{4} + 2 = \frac{9}{4} + \frac{8}{4} = \frac{17}{4}
Adım 2 — Kesrin Payda Kısmının Hesaplanması
Paydadaki ifade: (2 : 2) \cdot 2 + 2
Öncelikle parantez içindeki işlem yapılır:
2 : 2 = 1
Elde edilen sonuç 2 ile çarpılır:
1 \cdot 2 = 2
Son olarak toplama işlemi yapılır:
2 + 2 = 4
Adım 3 — Payın Paydaya Oranlanması
Pay \frac{17}{4} ve payda 4 olarak bulunmuştu. İki değer birbirine bölünür:
\frac{\frac{17}{4}}{4} = \frac{17}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{17}{16}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A şıkkı, \frac{17}{16}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. İşlem Önceliği (Parantez ve Dört İşlem)
- Tanım: Matematiksel işlemlerde karışıklığı önlemek için parantez içi, çarpma/bölme ve toplama/çıkarma sırasının takip edilmesidir.
- Bu problemde: Pay ve paydadaki ifadeler parantezden başlanıp soldan sağa işlem sırasına sadık kalınarak çözülmüştür.
2. Kesirlerde Bölme Kuralı
- Tanım: Bir kesir bir tam sayıya veya başka bir kesre bölünürken, ikinci terim ters çevrilip birinciyle çarpılır.
- Bu problemde: \frac{17}{4} kesri 4 sayısına bölünürken 4, \frac{1}{4} olarak ters çevrilip çarpılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Paydadaki Çarpma ve Toplama Önceliğini İhlal Etmek
- Yanlış: (2 : 2) \cdot (2 + 2) = 1 \cdot 4 = 4 şeklinde algılayıp yanlışlıkla önce toplamayı yapmak veya 2 \cdot 2 + 2 ifadesinde önce 2 + 2 = 4 toplayıp ardından çarpmak.
- Doğru: Önce çarpma işlemi (1 \cdot 2 = 2), ardından toplama işlemi (2 + 2 = 4) yapılmalıdır.
- Neden yanlış: İşlem önceliğinde çarpma, toplamadan önce gelir; parantez yoksa toplama öne alınamaz.
Bu tip işlem önceliği sorularını pekiştirmek için benzer bir alıştırma sorusu çözmemi ister misin?