işleminin sonucu kaçtır?
\frac{\frac{4}{7} + \frac{4}{8} + \frac{4}{9}}{\frac{2}{21} + \frac{2}{24} + \frac{2}{27}}
A) 6
B) 8
C) 9
Rasyonel Sayılarda Sadeleştirme ve Ortak Paranteze Alma İşlemi
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Ortak Çarpan Parantezi: a \cdot x + a \cdot y = a(x + y)
- Kesirlerde Bölme Kuralı: \frac{a}{\frac{b}{c}} = a \cdot \frac{c}{b}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Pay Kısmını Ortak Çarpan Parantezine Alma
Payda yer alan her terimin payında 4 sayısı bulunmaktadır. İfadeyi 4 parantezine alalım:
\frac{4}{7} + \frac{4}{8} + \frac{4}{9} = 4 \left( \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} \right)
Adım 2 — Payda Kısmını Ortak Çarpan Parantezine Alma
Paydadaki kesirlerin payında 2, paydasındaki sayılarda ise 3 ortak çarpanı vardır:
- \frac{2}{21} = \frac{2}{3 \cdot 7} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{7}
- \frac{2}{24} = \frac{2}{3 \cdot 8} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{8}
- \frac{2}{27} = \frac{2}{3 \cdot 9} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{9}
Tüm paydayı \frac{2}{3} parantezine alalım:
\frac{2}{21} + \frac{2}{24} + \frac{2}{27} = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} \right)
Adım 3 — İfadeleri Oranlama ve Sadeleştirme
Elde edilen parantezli ifadeleri ana kesirde yerine yazalım:
\frac{4 \left( \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} \right)}{\frac{2}{3} \left( \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} \right)}
Ortak olan \left( \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} \right) ifadeleri birbiriyle sadeleşir:
= \frac{4}{\frac{2}{3}}
Adım 4 — Bölme İşlemini Tamamlama
Paydaki sayı aynen kalır, paydadaki kesir ters çevrilerek çarpılır:
4 \cdot \frac{3}{2} = \frac{12}{2} = 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Ortak Çarpan Parantezi
- Tanım: Bir cebirsel veya sayısal ifadede ortak olan terimlerin parantez dışına alınması işlemidir.
- Bu problemde: Payda ve paydada yer alan rasyonel serileri hesaplamadan doğrudan sadeleştirmemizi sağladı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Paydaları Eşitleyerek Toplamaya Çalışmak
- Yanlış: 7, 8, 9, 21, 24, 27 gibi sayıların en küçük ortak katını (EKOK) bulup tüm paydaları eşitlemek.
- Doğru: Pay ve payda arasındaki kat ilişkisini fark edip ortak çarpan parantezine almak.
- Neden yanlış: Çok büyük sayılarla işlem yapılmasına, ciddi zaman kaybına ve işlem hatası riskinin artmasına yol açar.
Bu sorudaki gibi pratik sadeleştirme yöntemlerini içeren benzer bir TYT tarzı soru daha çözmek ister misin?