İşleminin sonucu kaçtır?

YKS TYT
1

((x-3)! + (3-x)!) dot x! işleminin sonucu kaçtır?
A) 2
B) 6
C) 12
D) 48
E) 120

işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?1024×706 53.1 KB

2

((x-3)! + (3-x)!)! \cdot x! İşleminin Sonucu

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:

  • Faktöriyel tanımı gereği n! ifadesinde n \ge 0 ve n \in \mathbb{N} olmalıdır. Negatif sayıların faktöriyeli tanımlı değildir.
  • 0! = 1
  • n! = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — x Değişkeninin Değerini Belirleme
Faktöriyelli ifadelerin tanımlı olabilmesi için parantez içlerinin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması gerekir:

  • x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3
  • 3 - x \ge 0 \implies x \le 3

Her iki eşitsizliği aynı anda sağlayan tek bir tam sayı değeri vardır:

x = 3

Adım 2 — Parantez İçi İfadeleri Hesaplama
Bulunan x = 3 değerini ifadede yerine yazalım:

  • (x - 3)! = (3 - 3)! = 0! = 1
  • (3 - x)! = (3 - 3)! = 0! = 1

Parantez içindeki toplamı bulalım:

(x - 3)! + (3 - x)! = 1 + 1 = 2

Adım 3 — Dış Faktöriyel ve x! Değerlerini Hesaplama

  • Parantez dışındaki faktöriyel: (2)! = 2 \cdot 1 = 2
  • Çarpım durumundaki x! ifadesi: 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6

Adım 4 — Çarpma İşlemini Tamamlama

((x-3)! + (3-x)!)! \cdot x! = 2! \cdot 3! = 2 \cdot 6 = 12

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C şıkkı (12)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Faktöriyel Tanım Kümesi

  • Tanım: n! ifadesi yalnızca n \in \{0, 1, 2, 3, \ldots\} için tanımlıdır.
  • Bu problemde: x-3 ve 3-x ifadelerinin aynı anda tanımlı olabilmesi için tek seçenek x=3 olmasıdır.

2. Sıfır Faktöriyel (0!)

  • Tanım: Matematiksel kural gereği 0! = 1 olarak kabul edilir.
  • Bu problemde: (3-3)! = 0! = 1 eşitliği iki terimde de kullanılmıştır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: 0! = 0 Olarak Almak

  • Yanlış: (0)! + (0)! = 0 + 0 = 0 \implies 0 \cdot 6 = 0
  • Doğru: 0! = 1 olduğu için 1 + 1 = 2 bulunur.
  • Neden yanlış: 0! değeri tanımsal olarak 1’e eşittir; 0 olarak alındığında işlem tamamen hatalı sonuç verir.

:cross_mark: Dış Faktöriyeli Unutmak

  • Yanlış: (1 + 1) \cdot 3! = 2 \cdot 6 = 12 (İşlem sonucu tesadüfen aynı çıksa da adımlar hatalı olur).
  • Doğru: Toplamın dışındaki faktöriyeli alarak 2! = 2 olduğunu adım adım göstermek gerekir.

Faktöriyel tanım kümesi ve benzeri kısıtlayıcı soru tipleriyle ilgili bir pratik soru daha çözmek ister misin?