İşleminin sonucu kaçtır?

YKS TYT
1

((x-3)! + (3-x)!) dot x! işleminin sonucu kaçtır?
A) 2
B) 6
C) 12
D) 48
E) 120

işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?1024×768 52.5 KB

2

((x-3)! + (3-x)!)! \cdot x! İşleminin Sonucu

:light_bulb: KULLANILAN KURAL VE FORMÜLLER:

  • Faktöriyel Tanım Kümesi: n! ifadesinin tanımlı olabilmesi için n \in \mathbb{N} ve n \ge 0 olmalıdır. Negatif sayıların faktöriyeli tanımsızdır.
  • 0! Değeri: 0! = 1
  • Faktöriyel Açılımı: n! = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot 1

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — x Değerinin Belirlenmesi
İfadede yer alan (x-3)! ve (3-x)! terimlerinin tanımlı olabilmesi için faktöriyel içi negatif olamaz:

x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3
3 - x \ge 0 \implies x \le 3

Bu iki eşitsizliği aynı anda sağlayan tek değer:

x = 3

Adım 2 — Parantez İçindeki İfadelerin Hesaplanması
x = 3 değerini parantez içine yerleştirelim:

(x - 3)! = (3 - 3)! = 0! = 1
(3 - x)! = (3 - 3)! = 0! = 1

Parantez içi toplamı:

(x - 3)! + (3 - x)! = 1 + 1 = 2

Adım 3 — Dış Faktöriyel ve x! Değerlerinin Hesaplanması
Bulunan değerin dış faktöriyelini alalım:

((x - 3)! + (3 - x)!)! = 2! = 2 \cdot 1 = 2

x! teriminin değerini hesaplayalım:

x! = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6

Adım 4 — Çarpım İşleminin Yapılması
Bulunan iki değeri birbiriyle çarpalım:

2 \cdot 6 = 12

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C şıkkı (12)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Faktöriyelin Tanım Aralığı

  • Tanım: Doğal sayılar kümesinde tanımlı bir fonksiyondur.
  • Bu problemde: (x - a)! ve (a - x)! ifadeleri aynı işlemde yer alıyorsa, ifadenin reel sayılarda tanımlı olabilmesi için x = a olmak zorundadır.

2. 0! Tanımı

  • Tanım: Matematiksel kural gereği 0! değeri 1’e eşittir.
  • Bu problemde: x = 3 yazıldığında oluşan 0! terimleri 1 olarak işleme katılmıştır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: 0! Değerini 0 Almak

  • Yanlış: 0! + 0! = 0 kabul edip sonucu 0 bulmak.
  • Doğru: 0! = 1 olduğu için 1 + 1 = 2 olmalıdır.
  • Neden yanlış: Faktöriyel fonksiyonunda 0!, çarpmanın etkisiz elemanı olan 1’e eşittir.

:cross_mark: Dış Parantezdeki Faktöriyeli Unutmak

  • Yanlış: (1 + 1) \cdot 3! = 2 \cdot 6 = 12 işlemini doğru yapıp dıştaki faktöriyeli gözden kaçırmak (bu soruda tesadüfen 2! = 2 olduğu için sonuç değişmese de 3! gibi bir durumda işlem hatasına yol açar).
  • Doğru: Parantez dışındaki ! işaretini dikkate alarak 2! = 2 şeklinde hesaplamak.

Bu tip faktöriyel tanım aralığı sorularını pekiştirmek için benzer bir örnek daha çözmemi ister misin?