İşleminin sonucu kaçtır?

YKS TYT
1

((x-3)! + (3-x)!) dot x! işleminin sonucu kaçtır?
A) 2
B) 6
C) 12
D) 48
E) 120

işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?1024×705 52.1 KB

2

((x-3)! + (3-x)!)! \cdot x! İşleminin Sonucu

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Bir faktöriyel ifadesinin (n!) tanımlı olabilmesi için n \ge 0 ve n \in \mathbb{N} olmalıdır.
  • 0! = 1
  • n! = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot 1

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — x Değerinin Tanım Kümesinden Belirlenmesi
Faktöriyel ifadelerinin tanımlı olabilmesi için parantez içlerinin negatif olmaması gerekir:

x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3
3 - x \ge 0 \implies x \le 3

Hem x \ge 3 hem de x \le 3 eşitsizliklerini aynı anda sağlayan tek bir gerçek değer vardır:

x = 3

Adım 2 — Parantez İçindeki Faktöriyellerin Hesaplanması
Bulduğumuz x = 3 değerini ifadede yerine yazalım:

(x - 3)! = (3 - 3)! = 0! = 1
(3 - x)! = (3 - 3)! = 0! = 1

Adım 3 — Dıştaki Faktöriyel ve Çarpım İşleminin Hesaplanması
İçerideki toplamı ve dış faktöriyeli bulalım:

(x - 3)! + (3 - x)! = 1 + 1 = 2
((x - 3)! + (3 - x)!)! = 2! = 2 \cdot 1 = 2

Şimdi x! ifadesini hesaplayalım:

x! = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6

Adım 4 — Sonucun Bulunması
İfadeleri birbiriyle çarpalım:

2! \cdot 3! = 2 \cdot 6 = 12

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) 12
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Faktöriyelin Tanım Aralığı

  • Tanım: Negatif tam sayıların faktöriyeli tanımlı değildir; n! için n \in \{0, 1, 2, 3, \dots\} olmalıdır.
  • Bu problemde: x-3 ve 3-x ifadelerinin aynı anda tanımlı olabilmesi x’in yalnızca 3 değerini alabilmesini sağladı.

2. Sıfır Faktöriyel (0!)

  • Tanım: Kombinatorik ve cebirsel kurallar gereği 0! = 1 olarak tanımlanır.
  • Bu problemde: (3-3)! = 0! = 1 eşitliği kullanıldı.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: 0! Değerini 0 Olarak Almak

  • Yanlış: (0! + 0!)! = (0 + 0)! = 0! = 1 şeklinde hatalı toplamak.
  • Doğru: 0! = 1 olduğundan (1 + 1)! = 2! = 2 olmalıdır.
  • Neden yanlış: Sıfır faktöriyelin değeri sıfır değil, bire eşittir.

:cross_mark: Dıştaki Faktöriyel İşaretini Unutmak

  • Yanlış: (1 + 1) \cdot 3! = 2 \cdot 6 = 12 tesadüfen aynı çıksa da 2! alınmadığında farklı sorularda işlem hatasına yol açar.
  • Doğru: Parantezin dışındaki faktöriyel sembolü toplamın sonucuna uygulanmalıdır: (2)! = 2.

Faktöriyelde tanım kümesi ve sadeleştirme içeren benzer bir soru daha çözmemi ister misin?