1-2+3 -4+.. + 2023-2024 + 2025
işleminin sonucu kaçtır?
A)-1012
B) -1013
C) 1012
D) 1013
E) 1017
1 - 2 + 3 - 4 + \dots + 2023 - 2024 + 2025 İşleminin Sonucu
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Ardışık sayı dizilerinde terimleri ikişerli gruplandırma kuralı:
(2k - 1) - 2k = -1
Toplam terim sayısı çift sayıda gruplandığında her bir ikilinin değeri sabit bir fark üretir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İfadeyi İkişerli Gruplar Halinde Paranteze Alma
Verilen işlemde baştan itibaren ardışık gelen pozitif ve negatif sayıları ikişerli olarak gruplandıralım:
(1 - 2) + (3 - 4) + (5 - 6) + \dots + (2023 - 2024) + 2025
Adım 2 — Her Bir İkilinin Değerini Belirleme
Her bir parantez içi işlemin sonucu -1’e eşittir:
- 1 - 2 = -1
- 3 - 4 = -1
- 2023 - 2024 = -1
Adım 3 — Grup Sayısını ve İkililerin Toplamını Hesaplama
1’den 2024’e kadar toplam 2024 adet terim vardır. Bu terimler ikişerli gruplandığı için:
\text{Grup Sayısı} = \frac{2024}{2} = 1012 \text{ adet}
1012 adet (-1)'in toplamı:
1012 \times (-1) = -1012
Adım 4 — Dışarıda Kalan Son Terimi Ekleyerek Sonucu Bulma
Gruplamanın dışında kalan +2025 sayısını elde ettiğimiz toplama ekleyelim:
\text{Sonuç} = -1012 + 2025 = 1013
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 1013
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Alternatif İşaretli Ardışık Diziler
- Tanım: Terimlerin işaretlerinin + , - , + , - şeklinde birbirini takip ettiği dizilerdir.
- Bu problemde: Baştan sona kadar olan 2024 terim ikişerli eşleştirilerek her gruptan -1 elde edilmiş ve tek kalan son terimle nihai toplama ulaşılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Terim Sayısını Yanlış Hesaplayıp 2025’i İkiye Bölmeye Çalışmak
- Yanlış: \frac{2025}{2} yaparak virgüllü grup sayısı bulmak.
- Doğru: İkilileri tam oluşturabilmek için son çift sayı olan 2024’e kadar gruplandırıp, 2025’i sona bırakmak.
- Neden yanlış: Çift sayıda terim gruplandırılabilir, tek sayıdaki son terim gruptan bağımsız olarak tek başına eklenmelidir.
Bu tür ardışık işaret değiştiren dizilerle ilgili farklı bir soru kalıbı çözmemi ister misin?