7
8^2 + 44 dot 78 + 22^2
İşleminin sonucu kaçtır?
A)
25^4 B) 20^4 C) 12^4 D) 10^4 E) 10^2
78^2 + 44 \cdot 78 + 22^2 İşleminin Sonucu
KULLANILAN FORMÜL: Bu soru, Tam Kare Özdeşliği kullanılarak kolayca çözülebilir:
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen İfadeyi Özdeşliğe Göre Düzenleme
Sorudaki ifadeyi incelediğimizde:
- Birinci terim: a^2 = 78^2 (yani a = 78)
- Sonuncu terim: b^2 = 22^2 (yani b = 22)
- Ortadaki terim: 44 \cdot 78 ifadesini 2 \cdot 22 \cdot 78 şeklinde yazabiliriz. Bu da tam olarak 2ab formuna uyar.
Adım 2 — İfadeyi Parantez Kare Şeklinde Yazma
İfadeyi şu şekilde yeniden yazalım:
78^2 + 2 \cdot (22 \cdot 78) + 22^2
Bu ifade (78 + 22)^2 açılımıdır.
Adım 3 — Toplama ve Kare Alma İşlemini Yapma
Parantez içindeki işlemi yapalım:
78 + 22 = 100
Şimdi karesini alalım:
100^2
Adım 4 — Sonucu Üslü İfade Olarak Düzenleme
100 sayısı 10^2 olarak yazılabilir. Dolayısıyla:
(10^2)^2 = 10^{2 \times 2} = 10^4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 10^4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Tam Kare Özdeşliği
- Tanım: İki terimin toplamının karesi, bu terimlerin kareleri ile çarpımlarının iki katının toplamına eşittir.
- Bu problemde: Karmaşık çarpma işlemleri yapmak yerine, sayıların toplamının 100 ettiğini fark ederek sonuca hızla ulaştık.
SIK YAPILAN HATALAR:
Doğrudan Hesaplama Yapmak
- Yanlış: 78 \cdot 78 ve 44 \cdot 78 gibi büyük çarpma işlemlerini tek tek yapmaya çalışmak.
- Doğru: TYT gibi süreyle yarışılan sınavlarda bu tür soruların mutlaka bir özdeşlik kısayolu olduğunu hatırlamak gerekir.
- Neden yanlış: İşlem hatası yapma riskini artırır ve çok fazla vakit kaybettirir.
Bu çözümde kullandığımız tam kare özdeşliğinin fark (eksi) versiyonu olan (a-b)^2 ile ilgili bir örnek soru daha çözmemi ister misin?