İşleminin sonucu kaçtır?

YKS TYT
1

3! + 4!
işleminin sonucu kaçtır?
4! -4
c)1
E) 2

işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?1024×466 63.4 KB

2

\frac{3! + 4!}{4! - 4} İşleminin Sonucu

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL: Faktöriyel kavramı, n! ifadesinin 1’den n’e kadar olan tam sayıların çarpımı olduğunu belirtir (n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1).

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Faktöriyel Değerlerini Hesaplama
Öncelikle işlemde yer alan faktöriyel ifadelerinin sayısal değerlerini bulalım:

  • 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6
  • 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24

Adım 2 — Pay Kısmını Hesaplama
Kesrin üst kısmındaki (pay) toplama işlemini yapalım:

  • 3! + 4! = 6 + 24 = 30

Adım 3 — Payda Kısmını Hesaplama
Kesrin alt kısmındaki (payda) çıkarma işlemini yapalım:

  • 4! - 4 = 24 - 4 = 20

Adım 4 — Kesri Sadeleştirme
Bulduğumuz değerleri yerlerine koyarak bölme işlemini gerçekleştirelim:

  • \frac{30}{20}
  • Her iki tarafı da 10 ile sadeleştirdiğimizde sonuç \frac{3}{2} olur.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: D) \frac{3}{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Faktöriyel (n!)

  • Tanım: Pozitif bir tam sayının kendisinden önceki tüm pozitif tam sayılarla çarpımıdır.
  • Bu problemde: 3! ve 4! değerleri hesaplanarak dört işlem kuralları uygulanmıştır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: İşlem Önceliği Hatası

  • Yanlış: Faktöriyelleri açmadan önce sayıları toplamak (örneğin 3! + 4! işlemini 7! sanmak).
  • Doğru: Önce her bir faktöriyel değerini ayrı ayrı hesaplayıp sonra toplama/çıkarma yapmak gerekir.
  • Neden yanlış: Faktöriyel fonksiyonu doğrusal değildir; (a+b)! \neq a! + b!.

Faktöriyel içeren sadeleştirme sorularında büyük faktöriyeli küçüğe benzeterek paranteze alma yöntemini de görmek ister misin?

3

tamam onu biliyoeum da hani 4. 3! şeklinde de yapılabiliyor ya bana onu bu soru üzerinden anlatır mısın

4

\frac{3! + 4!}{4! - 4} İşleminin Ortak Çarpan Parantezi ile Çözümü

Harika bir soru! Büyük olan faktöriyeli küçüğe benzeterek (paranteze alarak) çözmek, özellikle sayılar çok daha büyük olduğunda (örneğin 10! + 11! gibi) işini çok kolaylaştırır.

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL: Faktöriyelde temel kural şudur: n! = n \times (n-1)!. Yani 4! ifadesini 4 \times 3! olarak yazabiliriz.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Büyük Faktöriyeli Küçüğe Benzetme
İşlemdeki en küçük faktöriyel 3! olduğu için, pay kısmındaki 4! ifadesini ona benzetelim:

  • 4! = 4 \times 3!
  • Pay şu hale gelir: 3! + (4 \times 3!)

Adım 2 — Pay Kısmını Ortak Çarpan Parantezine Alma
3! ifadesini 1 \times 3! olarak düşünebiliriz. Payı 3! parantezine alalım:

  • 3! \times (1 + 4) = 3! \times 5
  • Sayısal olarak: 6 \times 5 = 30 (Gördüğün gibi sonuç değişmedi).

Adım 3 — Payda Kısmını Düzenleme
Paydada 4! - 4 işlemi var. Burada da 4’ler ortak olduğu için 4 parantezine alabiliriz:

  • 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
  • (4 \times 6) - 4 şeklinde düşünürsek, 4 parantezinde: 4 \times (6 - 1) = 4 \times 5
  • Sayısal olarak: 20

Adım 4 — Sonucu Bulma
Şimdi düzenlediğimiz ifadeleri alt alta yazalım:

  • \frac{3! \times 5}{4 \times 5}
  • Burada 5’ler birbirini sadeleştirir (götürür).
  • Geriye \frac{3!}{4} kalır.
  • \frac{6}{4} ifadesini de 2 ile sadeleştirirsek sonuç \frac{3}{2} olur.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: D) \frac{3}{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Ortak Çarpan Parantezi

  • Tanım: Bir toplam veya fark işleminde her terimde bulunan ortak sayının dışarı alınmasıdır.
  • Bu problemde: Pay kısmında 3! ortak olduğu için toplama yapmadan önce ifadeyi sadeleştirmemize yardımcı oldu.

:light_bulb: Pro Tip: Eğer soruda payda kısmında da bir faktöriyel olsaydı (örneğin 4! - 3!), her iki tarafı da 3! parantezine alarak hiç büyük sayı hesaplamadan saniyeler içinde sonuca ulaşabilirdin.

Faktöriyellerde bu “benzetme” yöntemini kullanarak pay ve paydanın tamamen birbirini götürdüğü daha karmaşık bir sadeleştirme örneği çözmemi ister misin?