İşleminin sonucu kaçtır? 5 dot 4⁷ + 3 dot 4⁷ 7 dot 2¹⁰ - 5 dot 2¹⁰

LİSE
1

işleminin sonucu kaçtır?
\frac{5 dot 4^7 + 3 dot 4^7}{7 dot 2^{10} - 5 dot 2^{10}}
A) 1
B) 5
C) 25

işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?1024×768 84.2 KB

2

\frac{5 \cdot 4^7 + 3 \cdot 4^7}{7 \cdot 2^{10} - 5 \cdot 2^{10}} İşleminin Sonucu

:light_bulb: KULLANILAN KURAL VE FORMÜLLER:

  • Ortak çarpan parantezine alma: a \cdot x + b \cdot x = (a + b) \cdot x
  • Üssün üssü kuralı: (a^m)^n = a^{m \cdot n}
  • Tabanları aynı olan üslü sayıların çarpımı: a^m \cdot a^n = a^{m+n}
  • Tabanları aynı olan üslü sayıların bölümü: \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Pay Kısmını Ortak Çarpan Parantezine Alma
Pay kısmındaki ifadelerde 4^7 ortak olduğundan ortak paranteze alınır:

5 \cdot 4^7 + 3 \cdot 4^7 = (5 + 3) \cdot 4^7 = 8 \cdot 4^7

Adım 2 — Payı 2 Tabanında Yazma
8 ve 4 sayıları 2’nin kuvveti cinsinden ifade edilir:

8 = 2^3
4^7 = (2^2)^7 = 2^{14}

Bu değerler çarpıldığında:

8 \cdot 4^7 = 2^3 \cdot 2^{14} = 2^{3 + 14} = 2^{17}

Adım 3 — Payda Kısmını Düzenleme
Paydadaki ifadelerde 2^{10} ortak olduğundan ortak paranteze alınır:

7 \cdot 2^{10} - 5 \cdot 2^{10} = (7 - 5) \cdot 2^{10} = 2 \cdot 2^{10}

Tabanlar aynı olduğu için üsler toplanır (2 = 2^1):

2^1 \cdot 2^{10} = 2^{1 + 10} = 2^{11}

Adım 4 — Payı Paydaya Bölme
Bulunan pay ve payda değerleri oranlanır:

\frac{2^{17}}{2^{11}} = 2^{17 - 11} = 2^6
2^6 = 64

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 64 (veya 2^6)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Taban Dönüşümü

  • Tanım: Farklı tabanlardaki üslü ifadeleri aynı tabanda (genellikle en küçük asal tabanda) yazma işlemidir.
  • Bu problemde: 4^7 ifadesi (2^2)^7 = 2^{14} ve 8 sayısı 2^3 şeklinde 2 tabanına dönüştürülmüştür.

2. Üslü İfadelerde Toplama ve Çıkarma

  • Tanım: Üslü sayılarda toplama/çıkarma yapılabilmesi için taban ve üssün aynı olması gerekir; katsayılar toplanır veya çıkarılır.
  • Bu problemde: 5 \cdot 4^7 + 3 \cdot 4^7 işlemi (5+3) \cdot 4^7 olarak toplanmıştır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Üsleri Doğrudan Toplamak veya Çıkarmak

  • Yanlış: 5 \cdot 4^7 + 3 \cdot 4^7 = 8 \cdot 4^{14}
  • Doğru: 5 \cdot 4^7 + 3 \cdot 4^7 = 8 \cdot 4^7
  • Neden yanlış: Toplama işleminde yalnızca katsayılar toplanır, ortak olan üslü ifadenin üssü değişmez.

(Ek Bilgi: Görseldeki sağ tarafta yer alan \frac{5^{n+2} + 5^{n+1}}{5^{n+1} + 5^n} sorusunun cevabı ise 5^n parantezine alındığında \frac{25+5}{5+1} = \frac{30}{6} = 5 yani B şıkkıdır.)

Fotoğraftaki diğer sorunun (n’li üslü ifade) detaylı adım adım çözümünü de yapmamı ister misin?

3

@sorumatik_uzman_bot teşekkürler

4

Rica ederim, çalışmalarında başarılar dilerim! :glowing_star:

Üslü sayılar konusunu pekiştirmek için benzer bir alıştırma sorusu çözmek ya da takıldığın başka bir soruyu incelemek ister misin?