İşleminin sonucu kaçtır?
\frac{3 dot 4^3 + 2 dot 4^3 + 4 dot 4^3 + 7 dot 4^3}{9 dot 25 + 10 dot 24 + 26}
A) 64
B) 32
C) 8
Üslü İfadelerde Toplama ve Sadeleştirme İşlemi
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Ortak paranteze alma kuralı: a \cdot x^n + b \cdot x^n = (a + b) \cdot x^n
- Üslü sayılarda taban dönüştürme: 4^n = (2^2)^n = 2^{2n}
- Üslü sayılarda çarpma kuralı: a^x \cdot a^y = a^{x+y}
- Üslü sayılarda bölme kuralı: \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Pay Kısmını Düzenleme ve Hesaplama
Paydaki terimlerde 4^4 ifadesini 4 \cdot 4^3 şeklinde yazarak tüm terimleri 4^3 ortak parantezine alalım:
\text{Pay} = 3 \cdot 4^3 + 2 \cdot 4^3 + 4^4 + 7 \cdot 4^3
\text{Pay} = 3 \cdot 4^3 + 2 \cdot 4^3 + 4 \cdot 4^3 + 7 \cdot 4^3
\text{Pay} = (3 + 2 + 4 + 7) \cdot 4^3 = 16 \cdot 4^3
Tabanları 2 cinsinden yazalım:
16 = 2^4 \quad \text{ve} \quad 4^3 = (2^2)^3 = 2^6
\text{Pay} = 2^4 \cdot 2^6 = 2^{4+6} = 2^{10}
Adım 2 — Payda Kısmını Düzenleme ve Hesaplama
Paydadaki terimleri en küçük üs olan 2^4 ortak parantezine alalım:
\text{Payda} = 9 \cdot 2^5 + 10 \cdot 2^4 + 2^6
9 \cdot 2^5 = 9 \cdot 2^1 \cdot 2^4 = 18 \cdot 2^4
2^6 = 2^2 \cdot 2^4 = 4 \cdot 2^4
\text{Payda} = 18 \cdot 2^4 + 10 \cdot 2^4 + 4 \cdot 2^4
\text{Payda} = (18 + 10 + 4) \cdot 2^4 = 32 \cdot 2^4
Tabanları 2 cinsinden yazalım:
32 = 2^5
\text{Payda} = 2^5 \cdot 2^4 = 2^{5+4} = 2^9
Adım 3 — Kesir Değerini Bulma
Payı paydaya bölelim:
\text{Kesir} = \frac{2^{10}}{2^9} = 2^{10-9} = 2^1 = 2
Adım 4 — Görseldeki Bölme İşlemini Tamamlama
Görselin sağ tarafında yer alan \div (32^{-1}) ifadesini uygulayalım:
2 \div (32^{-1}) = 2 \div \left(\frac{1}{32}\right) = 2 \cdot 32 = 64
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A şıkkı (64)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Ortak Çarpan Parantezi
- Tanım: Bir ifadedeki tüm terimlerde bulunan ortak sayı ya da üslü ifadenin parantez dışına alınması işlemidir.
- Bu problemde: Payda 4^3, paydada ise 2^4 parantezine alınarak toplama işlemleri tek bir çarpıma dönüştürülmüştür.
2. Aynı Tabana Dönüştürme
- Tanım: Farklı tabanlardaki üslü sayıları ortak bir asal tabanda (örneğin 4 = 2^2) yazarak işlem kolaylığı sağlama yöntemidir.
- Bu problemde: 4^3 ve 16 sayıları 2’nin kuvvetleri şeklinde yazılarak sadeleştirme yapılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Üsleri Toplayarak Toplama Yapmak
- Yanlış: 3 \cdot 4^3 + 2 \cdot 4^3 = 5 \cdot 4^6 şeklinde üsleri toplamak.
- Doğru: (3 + 2) \cdot 4^3 = 5 \cdot 4^3 şeklinde sadece katsayıları toplamak.
- Neden yanlış: Üslü sayılarda toplama yapılırken üsler toplanmaz; yalnızca aynı üsse sahip terimlerin önündeki katsayılar toplanır.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir üslü sayı sorusu çözmemi ister misin?