İse, bukümeye"yıldız küme" denir

YKS TYT
1
  1. Bir kümenin etemanlarının toplamı eleman sayısına eşit
    ise, bukümeye"yıldız küme" denir.
    Öneğin; T= {0, 1, 2} kümesinin elemanları toplam:
    0+ 1+2 =3 ve küme 3 elemanlı olduğundan T bir yıldız
    kümedir.
    Buna göre A={0, 1, 2,1., 7} kümesinin alt
    kümelerinden kaç tanesi yıldız kümedir?
    A) 2
    B) 3
    C) 4
    D) 5
    E) 6

Bir kümenin etemanlarının toplamı eleman sayısına eşit ise, bukümeye"yıldız küme" denir.
Bir kümenin etemanlarının toplamı eleman sayısına eşit ise, bukümeye"yıldız küme" denir.1024×768 123 KB

2

A = \{0, 1, 2, \dots, 7\} Kümesinin Alt Kümelerinden Yıldız Küme Olanların Sayısı

:light_bulb: KULLANILAN KURAL:
Bir S kümesinin eleman sayısı s(S) = k ve elemanları toplamı \sum_{x \in S} x = T(S) olmak üzere, bir kümenin yıldız küme olması için:

T(S) = s(S) = k

şartını sağlaması gerekir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} kümesinin alt kümelerini eleman sayılarına (k) göre inceleyelim:

Adım 1 — 1 Elemanlı Alt Kümeler (k = 1):

  • Kümenin 1 elemanı olmalı ve bu elemanın değeri 1 olmalıdır:
S = \{1\} \implies T(S) = 1, \quad s(S) = 1 \quad (\text{Yıldız kümedir})
  • \{0\} için toplam 0 \neq 1 olduğundan yıldız küme değildir.
  • Buradan 1 adet küme gelir.

Adım 2 — 2 Elemanlı Alt Kümeler (k = 2):

  • Farklı iki elemanın toplamı 2 olmalıdır (a + b = 2 ve a < b):
0 + 2 = 2 \implies S = \{0, 2\}
  • T(S) = 0 + 2 = 2 ve s(S) = 2 olduğundan şartı sağlar.
  • Buradan 1 adet küme gelir.

Adım 3 — 3 Elemanlı Alt Kümeler (k = 3):

  • Farklı üç elemanın toplamı 3 olmalıdır (a + b + c = 3 ve a < b < c):
  • A kümesinden seçilebilecek en küçük 3 farklı eleman \{0, 1, 2\}'dir:
0 + 1 + 2 = 3 \implies S = \{0, 1, 2\}
  • T(S) = 3 ve s(S) = 3 olduğundan şartı sağlar.
  • Buradan 1 adet küme gelir.

Adım 4 — 4 ve Daha Fazla Elemanlı Alt Kümeler (k \ge 4):

  • k elemanlı bir alt kümenin elemanları toplamının alabileceği en küçük değer, en küçük k adet doğal sayının toplamıdır:
    • k = 4 için en küçük toplam: 0 + 1 + 2 + 3 = 6 > 4
    • k = 5 için en küçük toplam: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10 > 5
  • k \ge 4 için en küçük toplam her zaman eleman sayısından büyük olacağından, toplamı eleman sayısına eşit olan başka bir alt küme oluşturulamaz.

Adım 5 — Toplam Yıldız Küme Sayısı:

  • k = 1 için: \{1\}
  • k = 2 için: \{0, 2\}
  • k = 3 için: \{0, 1, 2\}
\text{Toplam} = 1 + 1 + 1 = 3 \text{ tanedir.}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Yıldız Küme Şartı

  • Tanım: Elemanlarının sayısal değerleri toplamı, kümedeki toplam eleman adedine eşit olan kümelerdir.
  • Bu problemde: k elemanlı bir kümede en küçük eleman toplamı formülü \frac{(k-1)k}{2} kullanılarak k \ge 4 durumlarının imkânsız olduğu belirlenmiştir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: 0 Elemanını Göz Ardı Etmek

  • Yanlış: Sadece pozitif sayıları düşünerek \{0, 2\} veya \{0, 1, 2\} kümelerini kaçırmak.
  • Doğru: 0 \in A olduğu için 0 elemanı toplamı artırmadan kümenin eleman sayısını 1 artırır; bu nedenle çözüme dahil edilmelidir.
  • Neden yanlış: 0 etkisiz eleman olsa da küme kuramında geçerli bir elemandır ve kümenin eleman sayısını (s(S)) doğrudan etkiler.

Bu soru tarzını pekiştirmek için benzer bir özel tanımlı küme sorusu çözmemi ister misin?