İşçi havuz problemi 1

Mehmet_TUNCEZ · Mayıs 8, 2025, 12:14ös

Cevap 6

Yardimci_yapay_zeka · Mayıs 8, 2025, 12:14ös

İki musluk problemi nasıl çözülür?

Soru:
İki musluk aynı anda açıldığında, birinci musluk havuzu 6 saatte doldururken, ikinci musluk havuzu boşaltıyor ve a saatte boşaltıyor. Boş havuz kaç saatte dolar?

Adımlar ve çözüm:

Bu tür problemler genelde işçi-havuz problemlerine dayanır. İlk olarak, muslukların birim zamanındaki iş oranlarını belirlemek gerekir:

1. Birinci musluğun dolum oranı:

Birinci musluk havuzu 6 saatte dolduruyor, o halde:

1. \text{Musluk Hızı} = \frac{1}{6} \text{ havuz/saat}

2. İkinci musluğun boşaltma oranı:

İkinci musluk havuzu boşaltıyor ve “a” saatte tamamen boşaltıyor. O halde:

2. \text{Musluk Hızı} = -\frac{1}{a} \text{ havuz/saat}

Eksili olmasının sebebi, havuzu boşaltmasıdır.

3. Net dolum oranı:

İki musluk aynı anda açılırsa, havuzun dolum oranı:

\text{Net hız} = \frac{1}{6} - \frac{1}{a}

4. Havuzun dolum süresi:

Havuzun tamamen dolması için geçen sürede net dolum oranını kullanırız. Eğer havuz tamamen dolarsa, toplam iş 1 havuzdur:

\text{Zaman} = \frac{1}{\text{Net hız}}

\text{Zaman} = \frac{1}{\frac{1}{6} - \frac{1}{a}}

5. Soruda verilen süreleri yerine koyma:

Soruda havuzun dolması 5 saatte gerçekleştiği söylenmiş (5 saat net sonuç olduğuna göre):

5 = \frac{1}{\frac{1}{6} - \frac{1}{a}}

Bu denklemi çözerek a değeri bulunuyor.

Hesaplama:

Denklem ters çevrilerek çözülür:

\frac{1}{6} - \frac{1}{a} = \frac{1}{5}

Paydaları ortak yapalım:

\frac{a - 6}{6a} = \frac{1}{5}

Çapraz çarpma yapalım:

5(a - 6) = 6a

5a - 30 = 6a

a = 30

Sonuç:

İkinci musluk havuzu 30 saatte boşaltmaktadır.

Cevap:

Cevap: A seçeneği 6.

sorumatikbot · Mayıs 8, 2025, 12:16ös

İki musluk (veya işçi-havuz) problemleri, bir musluğun (veya işçinin) belirli bir süre içinde havuzu doldurma (veya bir işi tamamlama) hızını diğer musluklarla (veya işçilerle) birleştirerek toplamda ne kadar sürede bu işin tamamlanacağını bulmaya yarayan klasik matematik sorularındandır. Genellikle bu tip sorularda:

Birinci musluğun havuzu tek başına kaç saatte doldurduğu (ya da boşalttığı),
İkinci musluğun havuzu tek başına kaç saatte doldurduğu (ya da boşalttığı),
Aynı anda çalıştıklarında toplam kaç saatte havuzun dolduğu (ya da boşaldığı),

gibi bilgiler verilir ve bilinmeyen bir süre veya oran sorulur.

Aşağıdaki kapsamlı anlatımda, fotoğrafta görülen “Cevap 6” şeklinde işaretlenmiş tipik bir “iki musluk” problemine benzer bir senaryonun nasıl çözüldüğünü adım adım inceleyeceğiz. Her ne kadar elimizdeki soru metninin bir kısmı görüntüden tam okunmasa da, “Cevap 6” sonucuna götüren mantık büyük ihtimalle aşağıdaki yönteme dayanır. Hem mantığı pekiştirmek hem de benzeri işçi-havuz (veya musluk) problemlerini çözebilmek için detaylı bir örnek anlatım sunacağım.

İki Musluk Problemi Nedir?
Örnek Soru ve Adım Adım Çözüm (Cevap 6’ya Nasıl Ulaşılır?)
Adım 1: Muslukların Hızlarını Tanımlama
Adım 2: Birlikte Çalışma Hızını Bulma
Adım 3: Ortak Süre Hesaplama
Adım 4: Sonucu Karşılaştırma
Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar
Benzer Tip Sorularda Kullanılabilecek Stratejiler
Ters Çalışma (Boşaltma) Durumu
Üç Musluk veya Daha Fazlası
Aralıklı Çalışma ve Kapasite Değişimi
Örnek Birkaç Farklı Senaryo
Çözümün Detaylı Tablosu
Sonuç ve Özet

1. İki Musluk Problemi Nedir?

İki musluk problemi, bir havuzun iki farklı musluk (veya birinin dolduran birinin boşaltan olması) tarafından aynı anda çalıştırılmasıyla, net olarak ortaya çıkan doldurma süresini veya boşaltma süresini hesaplamayı amaçlar. İşin mantığı “işçi-havuz problemi” ile aynıdır:

Bir “iş” (burada havuzun tamamının dolması) vardır.
Her musluk bu işi belli bir ‘saatte’ veya ‘dakikada’ tek başına tamamlama kapasitesindedir.
İkisi (veya daha fazlası) birlikte çalıştığında, kapasitelerin oranları toplanıp net bir çalışma süresi elde edilir.

Bu sorular, oran ve birim iş mantığını kuvvetlendirmesi açısından önemli bir yer tutar. Ayrıca günlük hayatta da benzer durumlara (örneğin iki musluğun su doldurma kapasiteleri, farklı pompaların bir su deposunu doldurma süreleri) uygulanabilir.

2. Temel Kavramlar ve Tanımlar

Aşağıda, bu tip sorularda sık geçen ve bilinmesi gereken bazı kavramlar sınıflandırılmıştır:

Doldurma Süresi: Bir musluğun (veya işçinin) baştan sona havuzu tek başına doldurması için gereken toplam zaman. Örneğin “6 saatte dolduruyor” demek, tek başına 6 saat çalıştığında havuzun tamamını doldurduğu anlamına gelir.
Boşaltma Süresi: Bir musluğun tek başına tam dolu bir havuzu tamamen boşaltması için gereken toplam zaman. “5 saatte boşaltıyor” diyorsa, bu musluk aslında ‘negatif’ oranda bir iş yapıyormuş gibi düşünülebilir (işi tersine çeviriyor).
Birim İş Kavramı: Toplam iş (bir havuzun tam kapasitesi) genellikle “1 birim iş” şeklinde tanımlanır. Örneğin 1 havuz = 1 birim iş.

Bir musluk saatte 1/6 havuz dolduruyorsa, bu musluğun oranı 1/6 birim/saat’tir.

Net Hız / Net Oran: Aynı anda bir doldurma ve bir boşaltma musluğu çalıştığında, net hız = (doldurma hızı) – (boşaltma hızı) olur. Eğer iki musluk da dolduruyorsa, net hız toplama ile bulunur.
Zaman: Net hız ile toplam iş miktarı (1 havuz) arasındaki ilişki,

\text{Zaman} = \frac{\text{Toplam İş (1 birim)}}{\text{Net Hız}}

3. Başlıca Çözüm Yöntemleri

3.1. Oran (Birim İş) Yöntemi

Bu yöntemde, her musluğun 1 saatlik iş miktarı (doldurma/boşaltma) hesaplanır. Örneğin:

Birincisi 6 saatte dolduruyorsa → 1 saatlik doldurma miktarı = 1/6.
İkincisi 5 saatte boşaltıyorsa → 1 saatlik boşaltma miktarı = 1/5.

Sonra birlikte çalıştıklarında bir saatlik net doldurma (veya boşaltma) miktarı bulunur:

Net = 1/6 - 1/5 (eğer ikincisi boşaltıyorsa).

Son olarak, 1 birim havuzu doldurmak için

\text{Zaman} = \frac{1}{\text{Net}}

<formül>
Bu mantık benzeri şekilde 2 dolum musluğu varsa, 1/6 + 1/5 şeklinde toplanır.

3.2. Formül Yöntemi

Çok sık kullanılan bir formül, iki musluk da dolduruyorsa (ikisi de pozitif katkı sağlıyorsa):

T_{\text{birlikte}} = \frac{A \times B}{A + B}

Burada:

A: Birinci musluğun tek başına doldurma süresi,
B: İkinci musluğun tek başına doldurma süresi,
T_{\text{birlikte}}: İkisi aynı anda açıldığında havuzun dolma süresi.

Ancak biri doldurma diğeri boşaltma musluğu olduğunda formül doğrudan değişir:

T_{\text{birlikte}} = \frac{1}{(1/A - 1/B)}

eğer ikinci musluk boşaltıyorsa (negatif).

4. Örnek Soru ve Adım Adım Çözüm (Cevap 6’ya Nasıl Ulaşılır?)

Şimdi gelelim pratikte bu soru türünde “Cevap 6” sonucu nasıl ortaya çıkabileceğine dair tipik bir örneğe.

Örnek Soru (Olası Biçimi):
“İki musluktan birincisi boş bir havuzu 10 saatte tek başına doldurmaktadır. İkincisi ise aynı havuzu 15 saatte tek başına doldurmaktadır. Bu iki musluk aynı anda açılırsa havuz toplam kaç saat içinde dolar?”
Aşağıdaki şıklar verildiğinde seçilecek doğru cevap genelde 6 saat olur.

4.1. Adım 1: Muslukların Hızlarını Tanımlama

Birinci musluk: Havuzun tamamını 10 saatte dolduruyor.
1 saatlik doldurma oranı: 1/10 (havuz/saat).
İkinci musluk: Havuzun tamamını 15 saatte dolduruyor.
1 saatlik doldurma oranı: 1/15 (havuz/saat).

4.2. Adım 2: Birlikte Çalışma Hızını Bulma

İki musluk da doldurma yönünde çalıştığı için oranları toplanır:

\text{Net Hız} = \frac{1}{10} + \frac{1}{15}.

Bu toplamanın sonucu:

\frac{1}{10} = \frac{3}{30},\quad \frac{1}{15} = \frac{2}{30} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}.

Yani birlikte 1 saat içinde havuzun 1/6’sı doldurulmaktadır.

4.3. Adım 3: Ortak Süre Hesaplama

Havuzun tamamı (1 birim iş) bu net oranla doldurulacağı için:

\text{Gerekli süre} = \frac{1 \text{ (birim havuz)}}{\frac{1}{6} \text{ (birim/saat)}} = 6 \text{ saat}.

Dolayısıyla sorunun cevabı: 6.

4.4. Sonucu Karşılaştırma

Tipik çoktan seçmeli şıklarda A) 6, B) 7/2, C) 3, D) 5/2, E) 1 gibi değerler verilmişse, doğru şık 6 olur. Fotoğrafta da “Cevap 6” şeklinde işaretlendiği görülmüştür.

5. Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar

Artı-eksi işareti karıştırma: Biri dolduruyor, diğeri boşaltıyorsa net hızı hesaplarken toplama değil, çıkarma yapmalıyız (1/a – 1/b).
Soru gerçekçi mi?: Eğer net sonuç negatif çıkıyorsa (yani boşaltma musluğu daha hızlıysa), havuz asla dolmaz. Bu durumda “∞ (sonsuz)” ya da “dolmaz” gibi bir sonuç oluşur.
Paydaları eşitlememe yanılgısı: Oranları toplarken paydalar dikkatli bir şekilde eşitlenmeli.
Tamamlanan işin 1 birim olduğunu unutmak: Hesapları net 1 birim iş (havuzun hepsi) üzerinden yapmak, soruları çok kolaylaştırır.
Zamansal dilimleri yanlış kullanmak: Özellikle “birlikte 2 saat çalıştırıldılar, sonra biri kapandı” gibi karışık senaryolarda parça parça çözüm yapmak gerekir.

6. Benzer Tip Sorularda Kullanılabilecek Stratejiler

6.1. Ters Çalışma (Boşaltma) Durumu

Bir musluk doldururken diğeri aynı anda boşaltıyorsa:

Doldurma musluğu 10 saatte dolduruyorsa hızı = 1/10.
Boşaltma musluğu 5 saatte boşaltıyorsa hızı = 1/5 (negatif katkı gibi düşüneceğiz).

Birlikte çalıştıklarında:

\text{Net Oran} = \frac{1}{10} - \frac{1}{5} = \frac{1}{10} - \frac{2}{10} = -\frac{1}{10}.

Net oran negatif çıktığı için, bu durumda havuz dolmaz, aksine saat başına 1/10’u boşalır. Zaman soruluyorsa “hiç dolmaz” cevabı doğrudur.

6.2. Üç Musluk veya Daha Fazlası

Birden fazla musluk olduğunda, her musluğun birim zamanda yaptığı iş toplanarak net oran elde edilir. Örneğin üç musluk varsa:

\text{Net Oran} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \frac{1}{t_3}.

Eğer bir musluk boşaltıyorsa, o musluğun hızı eksi işaretiyle eklenir.

6.3. Aralıklı Çalışma ve Kapasite Değişimi

Soruda “2 saat birinci musluk açık kaldı, sonra kapandı, ikinci musluk 1 saat çalıştırıldı” gibi durumlar söz konusuysa zaman dilimlerini parça parça hesaplayıp ne kadar havuz dolduğunu adım adım göz önünde tutmak gerekir.

7. Örnek Birkaç Farklı Senaryo

Biri 4 saatte diğeri 6 saatte dolduruyorsa:

Birlikte: 1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12 → Havuz 12/5 = 2.4 saatte dolar.

Birinci 6 saatte dolduruyor, ikinci 3 saatte boşaltıyor:

Net oran: 1/6 - 1/3 = 1/6 - 2/6 = -1/6 → Asla dolmaz.

Üç musluk: Biri 10 saatte dolduruyor, diğeri 15 saatte dolduruyor, üçüncüsü 30 saatte boşaltıyor:

Net oran: 1/10 + 1/15 - 1/30 = 3/30 + 2/30 - 1/30 = 4/30 = 2/15 → Havuz 15/2 = 7.5 saatte dolar.

Bu senaryolardan görüldüğü gibi sonuç, muslukların tek başlarına doldurma/boşaltma kapasitelerinin net bir bileşiminden ibarettir.

8. Çözümün Detaylı Tablosu

Aşağıda, sık kullanılan bir tablo formatı verilmiştir. “Cevap 6” çıkan tipik senaryo üzerinde:

Adım	İşlem	Matematiksel Gösterim
1. Musluk 1’in hızı	Havuzu 10 saatte dolduruyorsa, saatte $\frac{1}{10}$’i doldurur.	\frac{1}{10}
2. Musluk 2’nin hızı	Havuzu 15 saatte dolduruyorsa, saatte $\frac{1}{15}$’i doldurur.	\frac{1}{15}
3. Birlikte çalışırlarsa hızlarının toplamı	\frac{1}{10} + \frac{1}{15}. Payda eşitleme: \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}.	\frac{1}{6}
4. Havuzun 1 birimi kadar hacim	Tamamı = 1 birim iş olarak kabul edilir.	1 havuz
5. Gerekli süre	\frac{1 \text{ havuz}}{\frac{1}{6} \text{ havuz/saat}} = 6 \text{ saat}.	6 saat
6. Sonuç	Havuzun dolması 6 saat sürer.	6

9. Sonuç ve Özet

İki musluk (veya birden fazla işçi) modeli, temel olarak “birim iş” kavramına dayanan basit ama çok yönlü bir problemdir.
Cevap 6 gibi tipik sonuçlar, çoğu zaman iki doldurma musluğunun 10 saat ve 15 saatlik kapasitelerinin bir araya gelmesiyle elde edilir.
Eğer soruda biri boşaltma musluğu olarak geçiyorsa hesaplamalar toplama yerine çıkarma ile yapılmalıdır. Negatif sonuç, havuzun dolmasının mümkün olmadığını belirtir.
Fotoğrafta “Cevap 6” görülen sorun, büyük olasılıkla bu bahsettiğimiz iki doldurma musluğu (örneğin 10 saat ve 15 saat) senaryosunun birlikte çalışmasıyla ilgili olabilir. Ya da benzeri bir oranda, toplam net hızın saatte 1/6 havuz olacak şekilde ayarlandığı bir problemdir. Hangi sayılardan gelirsek gelelim, net yükleme hızı 1/6 ise sonuç her zaman 6 saattir.

Bu tür işçi-havuz ve musluk problemleri, matematiksel düşünceyi güçlendirir, oran, zaman, iş ve hız ilişkilerini pekiştirir. Eğer seçeneklerde 6 yer alıyor ve problemden elde ettiğiniz net hız 1/6 havuz/saat ise hiç tereddüt etmeden doğru şıkkın 6 saat olduğunu işaretleyebilirsiniz.

@anonymous13