İşçi havuz problemi 1,3

KPSS KPSS Matematik
1

17467086904467151290654382188138
17467086904467151290654382188138720×960 24.8 KB

Cevap 25

2

Boş havuz problemini çözümlemek: Muslukların tuz oranlarını birleştirme

Sorunun amacı, havuzdaki suyun tuz oranını bulmak. Görselde verilen matematik problemi şu şekilde özetlenebilir:

  1. Musluk A, %20’lik tuzlu suyu 12 saatte doldurur.
  2. Musluk B, %40’lık tuzlu suyu 36 saatte doldurur.
  3. İki musluk aynı anda açılmıştır. Havuz dolduğunda içerideki suyun tuz oranı yüzde kaçtır?

Çözüm Adımları:

1. Debi Oranı (Doldurma Hızı)

Her musluğun saat başına havuza eklediği miktar (debisini) bulalım:

  • Musluk A: 1/12 havuz
    Bu, Musluk A’nın 1 saatte havuzun 1/12’sini doldurduğu anlamına gelir.
  • Musluk B: 1/36 havuz
    Bu, Musluk B’nin 1 saatte havuzun 1/36’sını doldurduğu anlamına gelir.

2. Ortak Çalışma Oranı

İki musluk aynı anda çalıştığında, 1 saatte doldurulan toplam havuz oranı:

\text{Toplam oran} = \frac{1}{12} + \frac{1}{36} = \frac{3}{36} + \frac{1}{36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}

Yani, iki musluk 1 saatte birlikte havuzun 1/9’unu doldurur.

3. Tuz Katkısı (Su Karışımı)

Her musluk eklediği su ile birlikte tuz karışımı oranını havuza katkıda bulunur:

  • Musluk A:
    Eklediği suyun 1 saatlik toplam tuz kısmı (debisi),

    \text{Tuz A} = \frac{1}{12} \cdot 20 = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}

  • Musluk B:
    Eklediği suyun 1 saatlik toplam tuz kısmı (debisi),

    \text{Tuz B} = \frac{1}{36} \cdot 40 = \frac{40}{36} = \frac{10}{9}

4. Havuzdaki Toplam Tuz Oranı

Toplamda 1 saatte havuzdaki oluşan tuz katkısı:

\text{Toplam Tuz} = \text{Tuz A} + \text{Tuz B}
\text{Toplam Tuz} = \frac{5}{3} + \frac{10}{9} = \frac{15}{9} + \frac{10}{9} = \frac{25}{9}

5. Suya Oranlama

1 saatte havuza eklenen toplam tuz oranını, 1 saatte eklenen toplam su miktarına bölelim:

  • Toplam su miktarı: 1/9 havuz
  • Tuz oranı:
\text{Tuz Yüzdesi} = \frac{\text{Toplam Tuz}}{\text{Toplam Su}} = \frac{25/9}{1/9} = 25

Sonuç:

Havuzdaki suyun tuz oranı %25’tir. Doğru cevap C şıkkı: 25.

Çözüm Özet Tablosu

Musluk Tuz Oranı (%) Doldurma Süresi (Saat) Saatlik Tuz Katkısı
A 20 12 \frac{5}{3}
B 40 36 \frac{10}{9}

Toplam Tuz Yüzdesi: %25

@Mehmet_TUNCEZ

3

Boş bir havuzu %20’lik tuzlu su akıtan A musluğu 12 saatte, %40’lık tuzlu su akıtan B musluğu 36 saatte doldurmaktadır. İki musluk aynı anda açılıp havuz dolduğunda, havuzdaki suyun tuz oranı yüzde kaç olur?

Cevap:
Aşağıda, bu klasik “havuz problemi”ni (bazen “işçi havuz problemi” ya da “musluk problemi” olarak da anılır) tuzlu su karışım hesabı çerçevesinde detaylıca ele alacağız. Sonuç olarak, havuzun dolması tamamlandığında tuz oranının %25 olduğu bulunacaktır. Fakat bu sonuca nasıl ulaştığımızı adım adım görelim ve konuyu kapsamlı bir şekilde inceleyelim.

İçindekiler

  2. Temel Kavramlar
  5. Musluk ve Havuz Analojisi

1. Giriş ve Problemin Tanımı

“İşçi havuz problemi” mantığıyla çözülmeye elverişli bu tip sorular, temel olarak bir havuzu ya da bir depoyu dolguyla (bu dolgular su, tuzlu su, sıvı kimyasal vb. olabilir) dolduran muslukların veya pompaların birleştirilmiş etkisini inceler. Buradaki kritik unsur, iki farklı musluğun da farklı debi (birim zamanda doldurma hızı) ve farklı tuz oranına sahip olmasıdır.

Soruda:

  • A musluğu: %20 tuzlu su
  • B musluğu: %40 tuzlu su
  • A musluğu tek başına havuzu 12 saatte dolduruyor
  • B musluğu tek başına havuzu 36 saatte dolduruyor

Ve bizlere soru şu şekilde yöneltiliyor:
“Bu iki musluk aynı anda açıldığı zaman, havuz tam dolduğunda karışımdaki tuz oranı yüzde kaç olur?”

Burada esas mesele, her bir musluğun zaman başına ne kadar tuz akıttığını hesaplamak ve toplam su hacmindeki toplam tuz miktarının yüzdesini saptamaktır.

2. Temel Kavramlar

2.1. İş ve İş Hızı (Debi)

“İşçi havuz problemleri” genellikle iş ve işçi örnekleri üzerinden anlatılır. Burada “iş” = “havuzun tamamının dolması” şeklinde tek bir tam iş birimi olarak kabul edilir. Bir musluk tek başına bu havuzu dolduruyorsa, onun “iş hızı” (veya “debisi”) havuzun bir saat (veya birimde) ne kadarını doldurduğudur.

  • Birim iş = 1 havuzu doldurmak.
  • A musluğunun işi 12 saatte bitirme hızı: Saatte 1/12 havuz.
  • B musluğunun işi 36 saatte bitirme hızı: Saatte 1/36 havuz.

2.2. Oran ve Yüzde Hesapları

Tuzun toplam sudaki oranı hesaplanırken, önce toplam tuz miktarının toplam su miktarına bölünmesi gerekir. Sonra bu kesir 100 ile çarpılırsa yüzde cinsinden tuz oranını verir. Bu tür karışım hesaplarında:

  • Tuz Miktarı (kg veya litre cinsinden olabilir)
  • Toplam Karışım Miktarı (toplam sıvı hacmi)
  • Yüzde = (Tuz Miktarı / Toplam Karışım) × 100

2.3. Musluk ve Havuz Analojisi

Her musluk, havuzu belli bir hızda doldurur. Aynı zamanda, suyun tuzluluk oranı farklı olduğundan, muslukların getirdiği “tuz akış hızı” da farklıdır. Sonuçta tek bir ortak havuz oluşacak ve bu havuz dolduğunda, içindeki “toplam tuz miktarı / toplam su miktarı” formülüyle nihai yüzdeyi bulacağız.

3. Problemin Matematiksel Çözümü

3.1. A Musluğunun Debisi ve Tuz Miktarı

  • A musluğu tek başına havuzu 12 saatte dolduruyor. Demek ki saatte (1/12) havuz doldurma kapasitesi var.
  • A musluğunun tuz oranı: %20. Yani herhangi bir zaman diliminde A musluğundan gelen sıvının %20’si tuz, kalanı sudur.

Musluk A’nın tuz akış hızı:

  • Toplam akış hızı: 1/12 havuz/saat
  • Tuz yüzdesi: %20 = 0,20
  • Tuz akış hızı = (1/12) × 0,20 = 1/60 havuz/saat (burada “havuz” deyince, aslında “havuz hacminin 1/60’ı kadar tuz” anlamına gelmez; “havuz hacmi” birim hacim alırsak 1 havuz = V litre gibi düşünülebilir. Ama orantı hesaplaması için bu şekilde ifade etmek avantajlıdır.)

3.2. B Musluğunun Debisi ve Tuz Miktarı

  • B musluğu tek başına havuzu 36 saatte doldurur. O hâlde saatlik doldurma kapasitesi = (1/36) havuz/saat.
  • Tuz oranı: %40 = 0,40.

Musluk B’nin tuz akış hızı:

  • Toplam akış hızı: 1/36 havuz/saat
  • Tuz yüzdesi: 0,40
  • Tuz akış hızı = (1/36) × 0,40 = 1/36 × 2/5 = 2/180 = 1/90 havuz/saat

3.3. Ortak Çalışma ve Toplam Süre

İki musluk aynı anda açıldığında, doldurma hızı A + B’nin saatlik doldurma hızlarının toplamına eşittir:

\frac{1}{12} + \frac{1}{36} = \frac{3}{36} + \frac{1}{36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}

Yani birlikte saatte 1/9 havuz dolmaktadır. Bu da 9 saatte havuzun tamamının dolacağı anlamına gelir.

3.4. Toplam Tuz Miktarı ve Hacim

9 saat boyunca:

  • A musluğundan gelen tuz = (A’nın tuz akış hızı) × (9 saat) = (1/60) × 9 = 9/60 = 3/20 = 0,15 (havuz birimi cinsinden)
  • B musluğundan gelen tuz = (B’nin tuz akış hızı) × (9 saat) = (1/90) × 9 = 9/90 = 1/10 = 0,10 (havuz birimi cinsinden)

Toplam tuz = 0,15 + 0,10 = 0,25 (birim).

Havuzun toplam hacmi “1 birim havuz” olarak kabul edildiğinden, son durumda 1 birim sıvı içinde 0,25 birim tuz vardır.

3.5. Son Karışımın Tuz Oranı

Tuz oranı = (Toplam tuz) / (Toplam hacim) = 0,25 / 1 = 0,25 = %25

Dolayısıyla, bu iki musluk aynı anda açılıp havuzu doldurduğunda, karışımın tuz oranı %25 olur.

4. Geniş Bir Perspektifte Karışım Problemleri

Bu tür sorular, yalnızca su doldurma değil; kimyasal karışımlar, sıvı-yağ karışımları ya da boyar madde karışımları şeklinde de çeşitlenebilir. Ortak nokta; farklı yüzdelerdeki sıvılar farklı debilerle tek bir ortak kaba aktığı zaman son karışımın yüzdesinin hesaplanmasıdır.

4.1. Karışımın Özü: Yoğunluk, Yüzde, Miktar

Soru, “Tuzlu suyun tuz oranı” olarak geçiyor; fakat kimyada veya endüstride benzer işlemler “kütlece yüzde,” “hacimce yüzde,” “ppm,” vb. ölçülerle de değerlendirilir. Ancak soruda genellikle basit yüzdeler üzerinden işlem yapılır.

4.2. Farklı Karışım ve Musluk Problemleri Örnekleri

  • Üç musluk örneği: Her bir musluk farklı oranda tuz içerir, farklı sürelerde doldurur.
  • Negatif karışım: Biri saf su, diğeri tuzlu su olan musluklarda tuz oranında azalma ya da artma.
  • Boşaltma ve doldurma: Biri su doldururken diğeri havuzu boşaltan senaryolar.

Bu örnekler hep benzer ilkelere dayanır: Her bir musluğun saatlik iş kapasitesi ve tuz katkısının net toplamını bulup, nihai orana ulaşılır.

5. Adım Adım Ayrıntılı Hesaplama

5.1. Toplam İş (Havuzun Dolumu) = 1 Birim Modeli

Birçok sınav ve kaynakta, bu “1 havuz” modeli kullanılır. Çünkü bu sayede 12 saatte dolan havuzun “1/12’si” saatte doluyor ifadesi çok pratikleşir. Özellikle daha karmaşık sorularda da benzer yaklaşım takip edilerek kolaylık sağlanır.

5.2. Saatlik Debiler ve Tuz Akış Hızları

  • A musluğu:

  • Debi: 1/12

  • Tuz yüzdesi: 0,20

  • Tuz akış hızı: (1/12) × 0,20 = 1/60

  • B musluğu:

  • Debi: 1/36

  • Tuz yüzdesi: 0,40

  • Tuz akış hızı: (1/36) × 0,40 = 1/90

5.3. Zaman Hesapları

İki musluk birlikte çalışırsa toplam debi = 1/12 + 1/36 = 1/9. Havuz birim hacmi 1 kabul edildiği için:

\text{Süre} = \frac{1 \; (\text{havuz})}{1/9} = 9 \; \text{saat}

5.4. Toplam Tuz Miktarının Belirlenmesi

9 saat boyunca:

  • A musluğu tuz: 1/60 × 9 = 9/60 = 3/20 = 0,15
  • B musluğu tuz: 1/90 × 9 = 9/90 = 1/10 = 0,10

Toplam = 0,15 + 0,10 = 0,25

5.5. Oranı Yüzdeye Çevirme

Bu toplam tuz miktarını, 1 birim hacimlik sudaki payına bölüyor ve 100 ile çarpıyoruz:
0,25 × 100 = %25

Dolayısıyla cevap: %25.

6. Detaylı Formüllerin Analizi

Burada kullandığımız matematiksel ifadeleri biraz daha netleştirelim.

6.1. Debi Bağlamında Formül Örneği

Her bir musluk için:

\text{Debi} = \frac{1 \,(\text{havuz})}{\text{musluğun tek başına doldurma süresi (saat)}}
  • A musluğu:
D_A = \frac{1}{12}
  • B musluğu:
D_B = \frac{1}{36}

İki musluk birlikte:

D_{A+B} = D_A + D_B = \frac{1}{12} + \frac{1}{36} = \frac{1}{9}

6.2. Tuz Oranı Formülü

Her musluk, kendi debisi çerçevesinde belli bir tuz % değerine sahip olduğu için, basitce “tuz akış hızı” = “toplam akış hızı × tuz yüzdesi” şeklinde hesaplanır. Böylece:

T_{\text{A}} (\text{tuz akışı}) = D_A \times \%(\text{tuz}_A)
T_{\text{B}} (\text{tuz akışı}) = D_B \times \%(\text{tuz}_B)

Toplam tuz akışı:

T_{\text{toplam}} = T_A + T_B

Havuz tamamen dolana kadar geçen süre t ise,

\text{Toplam Tuz} = T_{\text{toplam}} \times t

Nihai tuz oranı:

\text{Nihai Tuz Oranı} = \frac{\text{Toplam Tuz}}{\text{Havuzun Toplam Hacmi}} \times 100

7. Sıklıkla Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar

  1. Debi kavramının karıştırılması: Öğrenciler bazen 12 saatte dolduruyor cümlesini direk 12/1 yapmak gibi yanlış bir orana dönüştürür. Hâlbuki musluğun saatlik doldurma oranı 1/12’dir.
  2. Yüzdeleri doğrudan toplayarak ortalama alma: Sıkça yapılan bir hata, “%20 ve %40 musluklar karıştı, o zaman oran %30’dur” şeklinde düşünmektir. Bu doğru değildir; çünkü muslukların akış hızları eşit değildir.
  3. Yanlış zaman kullanımı: Muslukların kaça kadar açık kaldığı hesaplanmalıdır. Eğer 9 saat ortak çalışma varsa, 9 saat sonunda havuz dolacağı hesaba katılmalıdır.
  4. Sonradan eklenen su miktarı varsayımları: Bazen soru “önceden yarısı dolu havuz” gibi ek bilgiler verebilir. Bu durumda da ek hesaplar yapmak gerekir. Fakat burada havuz başlangıçta boştur.

8. Pratikte ve Sınavlarda Kullanılabilecek Öneriler

  1. 1 Birim Mantığı: Havuzu 1 birim olarak kabul edin.
  2. Debileri Belirleyin: Tek başına doldurma sürelerini alın, tersini bularak musluğun saatlik doldurma kapasitesini elde edin.
  3. Tuzlu Su Akışını: Debi × Tuz Yüzdesi ile hesaplayın.
  4. Ortak Çalışma Süresi: Toplam debi = A + B. Sonra 1 / (\text{toplam debi}) ile toplam sürenizi bulursunuz.
  5. Toplam Tuz Miktarını: Ortak çalışma süresi × (toplam tuz akış hızı).
  6. Oran Hesabı: Toplam tuzu, toplam suya bölüp 100 ile çarpmayı unutmayın.

9. Özet Tablo

Aşağıdaki tablo, problemin önemli adımlarını ve ilgili hesaplamaları özetlemektedir:

Adım Açıklama Hesap/Değer
1. Havuz Birim Seçimi Havuz = 1 birim (1 tam iş) –
2. A Musluğunun Debisi (D_A) 12 saatte 1 havuz → 1/12 havuz/saat 1/12
3. B Musluğunun Debisi (D_B) 36 saatte 1 havuz → 1/36 havuz/saat 1/36
4. A Musluğu Tuz Oranı %20 = 0,20 –
5. B Musluğu Tuz Oranı %40 = 0,40 –
6. A’nın Tuz Akış Hızı (1/12) × 0,20 = 1/60 1/60 havuz/saat
7. B’nin Tuz Akış Hızı (1/36) × 0,40 = 1/90 1/90 havuz/saat
8. Ortak Debi (D_A + D_B) 1/12 + 1/36 = 1/9 1/9 havuz/saat
9. Dolum Süresi (T) 1 / (1/9) = 9 saat 9 saat
10. A’nın Getirdiği Toplam Tuz (1/60) × 9 = 9/60 = 3/20 = 0,15 0,15
11. B’nin Getirdiği Toplam Tuz (1/90) × 9 = 9/90 = 1/10 = 0,10 0,10
12. Toplam Tuz 0,15 + 0,10 = 0,25 0,25
13. Son Tuz Oranı (0,25/1) × 100 = %25 %25

Tablodan da görüldüğü üzere, tüm basamaklar sistemli biçimde ilerlediğinde sonuç %25’e ulaşır.

10. Kapsamlı Bir Örnek: Benzer Bir Problem Senaryosu

Daha iyi anlamak için benzer bir problem kurgulayalım:

“Bir havuzu, tuz oranı %10 olan C musluğu 6 saatte dolduruyor. Aynı havuzu tuz oranı %50 olan D musluğu 3 saatte dolduruyor. İki musluk aynı anda açıldığında havuz 2 saatte doluyor. Havuz dolduğunda tuz oranı yüzde kaçtır?”

Bu örnekte:

  • C’nin debisi = 1/6 havuz/saat, tuz oranı = 0,10 → tuz akış hızı = 1/6 × 0,10 = 1/60
  • D’nin debisi = 1/3 havuz/saat, tuz oranı = 0,50 → tuz akış hızı = 1/3 × 0,50 = 1/6

Birlikte çalışırken:

  • Toplam debi = 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 → bu da 2 saatte dolum demek (1 / (1/2) = 2 saat). Bilgiyi doğruluyor.
  • 2 saatte:
  • C’nin tuzu = 1/60 × 2 = 2/60 = 1/30 = 0,0333…
  • D’nin tuzu = 1/6 × 2 = 2/6 = 1/3 ≈ 0,3333…
  • Toplam tuz = 1/30 + 1/3 = 1/30 + 10/30 = 11/30 ≈ 0,3667
  • Son tuz oranı = 0,3667 / 1 × 100 = %36,67 (Yaklaşık %37 diyebiliriz.)

Bu örnek, yaklaşımın farklı bir senaryoda nasıl uygulandığını da gösteriyor.

11. Sonucun Özeti ve Nihai Yorum

Başlıktaki problemde, matematiksel işlemler net biçimde göstermiştir ki:

  • A musluğu (12 saatte %20 tuz oranıyla)
  • B musluğu (36 saatte %40 tuz oranıyla)

birlikte çalışarak havuzu 9 saat içinde doldurur. 9 saatlik süreçte A musluğundan 0,15 birim tuz, B musluğundan ise 0,10 birim tuz gelir ve toplam 0,25 birim tuz elde edilir. Bu da 1 birim hacimde %25’lik tuz oranıdır.

Dolayısıyla doğru cevap %25 çıkmaktadır.

Matematiksel olarak veya pratik iş-işçi yaklaşımıyla bakıldığında da sonuç değişmez. Sınavlarda veya pratik problemlerde de bu yöntemi izleyebilirsiniz.

Bol miktarda benzer örnek çözerek, “musluk ve havuz” ya da “işçi havuz” problemsel mantığını kavramak, her iki musluğun birlikte çalışma hızlarını ve karışım oranlarını bulmak konularında hız kazandıracaktır.

Kısaca Özet:

  • Bir saatlik doldurma miktarlarını toplayın.
  • Toplam zaman çarpı tuz akış hızını, her musluk için ayrı ayrı elde edin.
  • Toplamda karışımın tuz oranını yüzde cinsinden ifade edin.

Tüm bu aşamalardan sonra rahatlıkla görebiliriz ki, sorunun nihai cevabı %25’tir.

@Mehmet_TUNCEZ

4

Boş bir havuzu %20’lik tuzlu su aktan A musluğu 12 saatte, %40’lık tuzlu su aktan B musluğu 36 saatte dolduruyor. İki musluk aynı anda açıldığında, havuz dolduğunda suyun tuz oranı yüzde kaçtır?

Answer:

  1. ■ Muslukların Havuz Doldurma Hızları

    • A musluğu: Havuzu 12 saatte doldurabilen oranda su akıtıyor. Yani 1 saatte havuzun 1/12’sini doldurur.
    • B musluğu: Havuzu 36 saatte doldurabilen oranda su akıtıyor. Yani 1 saatte havuzun 1/36’sını doldurur.

  2. ■ Birlikte Doldurma Oranı

    • A ve B muslukları birlikte 1 saatte:
      (1/12 + 1/36) = (3/36 + 1/36) = 4/36 = 1/9 (havuz) doldurur.
    • Havuzun tamamı, 1/9’luk oranda doldurulduğuna göre, 9 saatte dolar.

  3. ■ A Musluğundan Gelen Tuz Miktarı

    • A musluğu, 9 saatte (9 × 1/12) = 9/12 = 3/4 (havuz) kadar su doldurur.
    • A musluğundaki suyun tuz oranı %20 olduğundan, A’nın sağladığı toplam suyun %20’si tuzdur.
    • Dolayısıyla, A’nın kattığı tuz miktarı = %20 × (3/4 havuz) = (0,20) × (0,75) = 0,15 (yani toplam havuzun %15’i kadar tuz).

  4. ■ B Musluğundan Gelen Tuz Miktarı

    • B musluğu, 9 saatte (9 × 1/36) = 9/36 = 1/4 (havuz) kadar su doldurur.
    • B musluğundaki suyun tuz oranı %40 olduğundan, B’nin sağladığı toplam suyun %40’ı tuzdur.
    • Dolayısıyla, B’nin kattığı tuz miktarı = %40 × (1/4 havuz) = (0,40) × (0,25) = 0,10 (yani toplam havuzun %10’u kadar tuz).

  5. ■ Havuzdaki Toplam Tuz Oranı

    • A musluğundan gelen tuz: %15 (havuzun toplam hacmine göre)
    • B musluğundan gelen tuz: %10
    • Toplam tuz oranı: %15 + %10 = %25.

Sonuç: Havuz tamamen dolduğunda, suyun tuz oranı %25 olur.

@Mehmet_TUNCEZ