İşçi-havuz problemi (1,2)

KPSS KPSS Matematik
1

17466515998981815432837373390993
17466515998981815432837373390993720×960 22.1 KB

Cevap 60/13

2

Soruyu Çözüyoruz: İşçi-Havuz Problemi

Verilen soru şu şekilde:

İki işçiden birincisi bir işin \frac{2}{5}'ini, 6 günde; ikincisi ise \frac{3}{8}'ini, 9 günde yapabiliyor. Buna göre, ikisi birlikte işin yarısını kaç günde bitirir?

Adım 1: Birim Günlük İş Kapasitesini Bulma

Birinci işçi:

Birinci işçinin 6 günde yaptığı iş miktarı \frac{2}{5}. O zaman, birinci işçinin bir günde yaptığı işler:

\text{Birinci işçinin günlük iş kapasitesi} = \frac{\frac{2}{5}}{6} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}.

İkinci işçi:

İkinci işçinin 9 günde yaptığı iş miktarı \frac{3}{8}. O zaman, ikinci işçinin bir günde yaptığı işler:

\text{İkinci işçinin günlük iş kapasitesi} = \frac{\frac{3}{8}}{9} = \frac{3}{72} = \frac{1}{24}.

Adım 2: İki İşçinin Birlikte Günlük Kapasitesi

İki işçi birlikte çalıştığında günlük iş kapasiteleri şu şekilde hesaplanır:

\text{Toplam günlük iş kapasitesi} = \frac{1}{15} + \frac{1}{24}.

Bu toplamı ortak payda bularak topluyoruz:

\frac{1}{15} = \frac{8}{120},\quad \frac{1}{24} = \frac{5}{120}.
\text{Toplam günlük kapasite} = \frac{8}{120} + \frac{5}{120} = \frac{13}{120}.

İki işçi birlikte bir günde işin \frac{13}{120}'lik kısmını bitirebiliyor.

Adım 3: İşin Yarı Miktarı (\frac{1}{2}) İçin Gerekli Gün

Yarım işi tamamlamak için gereken gün sayısı:

\text{Gün süresi} = \frac{\text{İş miktarı}}{\text{Günlük kapasite}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{13}{120}}.

Bu bölmeyi kolaylaştırmak için çarpıyoruz:

\text{Gün süresi} = \frac{1}{2} \cdot \frac{120}{13} = \frac{60}{13}\ \text{gün}.

Sonuç

İki işçi birlikte işin yarısını \frac{60}{13} gün içinde bitirir.

Doğru seçenek: B)

@Mehmet_TUNCEZ

3

İki işçiden birincisi bir işin 2/5’ini 6 günde, ikincisi ise 3/8’ini 9 günde yapabiliyor. Buna göre, ikisi birlikte işin yarısını kaç günde bitirir?

Cevap:

1. Adım – İşçilerin Günlük İş Yapma Hızlarını Hesaplama

• Birinci işçi (A):

  • İşin 2/5’ini 6 günde yapıyor.
  • Günlük yaptığı iş miktarı = (2/5) ÷ 6 = (2/5) × (1/6) = 2/30 = 1/15.
  • Yani, birinci işçi günde işin 1/15’ini tamamlıyor.

• İkinci işçi (B):

  • İşin 3/8’ini 9 günde yapıyor.
  • Günlük yaptığı iş miktarı = (3/8) ÷ 9 = (3/8) × (1/9) = 3/72 = 1/24.
  • Yani, ikinci işçi günde işin 1/24’ünü tamamlıyor.

2. Adım – Birlikte Günlük İş Yapma Hızlarını Bulma

• Birinci işçi (A) + İkinci işçi (B) = 1/15 + 1/24
• Bu toplanacak iki kesrin paydasını eşitlemek için, 15 ve 24’ün en küçük ortak katı (EBOB/LCM) 120 bulunur.

  • 1/15 = 8/120
  • 1/24 = 5/120
    • Birlikte günlük iş yapma hızı = 8/120 + 5/120 = 13/120.

Bu sonuç, iki işçinin birlikte bir günde işin 13/120’lik kısmını yapabileceğini gösterir.

3. Adım – İşin Yarısını Bitirme Süresi

• Soru, işin 1/2’sini (yarısını) kaç günde bitirebileceklerini soruyor.
• Eğer bir gün içinde 13/120 kadar iş yapıyorlarsa, 1/2’lik kısmı yapmak için:

\text{Gerekli süre} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{13}{120}} = \frac{1}{2} \times \frac{120}{13} = \frac{120}{26} = \frac{60}{13}

Yani, ikisi birlikte işin yarısını 60/13 günde tamamlar.

Doğrulanmış Sonuç: 60/13 gün (~4.615 gün)

@Mehmet_TUNCEZ

4

İki işçiden birincisi bir işin 2/5’ini 6 günde, ikincisi ise 3/8’ini 9 günde yapabiliyor. Buna göre, ikisi birlikte işin yarısını kaç günde bitirirler?

Cevap: 60/13 gündür.

İçindekiler

1. Genel Bakış

İşçi-havuz problemleri, oran ve orantı mantığının en sık karşımıza çıktığı problem türlerinden biridir. Bu problemler, genellikle bir veya birden fazla işçi ya da makinenin belli bir işi belirli sürelerde yapma kapasitelerini karşılaştırarak, birlikte çalışmaları durumunda işi ne kadar sürede tamamlayacaklarını bulmayı amaçlar.

Bu soruda iki işçi var ve:

  • Birinci işçi, işin 2/5’ini 6 günde yapabiliyor.
  • İkinci işçi ise, işin 3/8’ini 9 günde yapabiliyor.

Soru, işin yarısını (yani 1/2’sini) birlikte kaç günde bitireceklerini öğrenmemizi istiyor. Çözüm yolunun temelinde, işçilerin günlük iş yapma hızlarının toplanması yatar.

2. İşçi-Havuz Problemlerinin Temel Mantığı

Bu tip soruları çözmek için kullanılan standart strateji, her bir işçinin (veya makinenin) 1 günde ne kadar iş yaptığını (günlük iş yapma oranını) hesaplamaktır. Daha sonra, birlikte çalıştıklarında bu günlük oranlar toplanır ve hedeflenen işin (örneğin yarısı, üçte biri, tamamı vb.) süresi hesaplanır.

Temel adımlar şöyledir:

  1. İşin tamamını 1 kabul etmek: Yani söz konusu işin büyüklüğü “1 birimlik iş” şeklinde modellenir.
  2. Günlük iş yapma oranı (hız) bulma: Her bir işçinin (veya makinenin) günde yaptığı iş miktarı, o işçinin bir torba iş (veya havuz) içindeki katkısını belirtir.
  3. Oranların toplanması: Birden fazla işçi birlikte çalıştığında, günlük iş yapma oranları toplanarak “birlikte kaç günde işin istenilen kısmını tamamlayacakları” bulunur.
  4. Hedef: Soru genellikle “işin tümünü” bitirme süresini sorsa da, bazen %x gibi bir bölümünü veya “yarısını” bitirme süresini sorabilir. Bu durumda, “yarısı” gibi 1/2 oranını, birim iş miktarı cinsinden yerine koyarız (örneğin 1/2).

Bu mantıkla ilerlediğimizde hata yapma ihtimalimiz azalır ve hem basit hem de karmaşık işçi-havuz soru tiplerini hızlıca çözebiliriz.

3. Verilen Bilgiler ve İşçi Kapasiteleri

Soruda verilen verileri düzenleyelim:

  • Birinci işçi (İşçi A)

  • “İşin 2/5’ini 6 günde yapıyor.”

  • Bu ifade, bir kıyaslama kabiliyeti sunar: 2/5 iş miktarını 6 gün sürüyor.

  • İkinci işçi (İşçi B)

  • “İşin 3/8’ini 9 günde yapıyor.”

  • Bu ifade de benzer kıyaslamayı ikinci işçi için veriyor.

Referans noktamız her zaman ‘1 iş = tam iş’. Bizim amacımız: “Bu iki işçi, yani A ve B, işin 1/2’sini birlikte kaç günde tamamlar?” sorusuna cevap vermek.

4. Adım Adım Çözüm

4.1. Birinci İşçinin Günlük İş Yapma Oranı

Birinci işçi, işin 2/5’ini 6 günde tamamlayabiliyor.

  • Birinci işçinin 6 günde bitirdiği kısmı: 2/5
  • Dolayısıyla birinci işçinin 1 günde yaptığı iş oranı:
\frac{\frac{2}{5}}{6} = \frac{2}{5 \times 6} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}

Yani Birinci işçi (A), günde 1/15 kadar iş yapar.

4.2. İkinci İşçinin Günlük İş Yapma Oranı

İkinci işçi, işin 3/8’ini 9 günde tamamlayabiliyor.

  • İkinci işçinin 9 günde bitirdiği kısım: 3/8
  • Dolayısıyla ikinci işçinin 1 günde yaptığı iş oranı:
\frac{\frac{3}{8}}{9} = \frac{3}{8 \times 9} = \frac{3}{72} = \frac{1}{24}

Yani İkinci işçi (B), günde 1/24 kadar iş yapar.

4.3. Birlikte Çalışırken Günlük Toplam İş Yapma Oranı

İşçi A (1/15) ve İşçi B (1/24) birlikte çalıştığında, 1 günde yapacakları iş oranı toplanarak hesaplanır:

\frac{1}{15} + \frac{1}{24} = \frac{8}{120} + \frac{5}{120} = \frac{13}{120}

Burada 15 ve 24’ün en küçük ortak katı (EKOK) 120 olduğundan, payda 120 olmuştur. Sonuçta:

Birlikte 1 günde \frac{13}{120} iş yaparlar.

4.4. İşin Yarısını Tamamlama Süresi

Soruya göre, işin yarısını (1/2) birlikte tamamlamaları için ne kadar süre gerekir?

  • Birlikte 1 günde yaptıkları iş: 13/120
  • Toplam yapmaları gereken iş: 1/2

Aranan süre, şu formülle hesaplanır:

\text{Süre} = \frac{\text{Yapılacak iş miktarı}}{\text{Bir günde yapılan iş miktarı}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{13}{120}} = \frac{1}{2} \times \frac{120}{13} = \frac{120}{26} = \frac{60}{13}

Dolayısıyla, işin yarısını bu iki işçi birlikte 60/13 günde, yani yaklaşık 4,615… günde bitirir.

5. Hesaplamaların Tablosu

Aşağıdaki tablo, adım adım elde ettiğimiz değerleri özetler:

Adım İşlem Sonuç
1. Birinci İşçinin Hızı 2/5’lik işi 6 günde → Günlük iş miktarı = (2/5) / 6 1/15
2. İkinci İşçinin Hızı 3/8’lik işi 9 günde → Günlük iş miktarı = (3/8) / 9 1/24
3. Birlikte Hız (Toplam) 1/15 + 1/24 = 13/120 13/120
4. Hedef (İşin 1/2’si) Toplam 1/2 iş yapılacak 1/2
5. Gerekli Süre (1/2) ÷ (13/120) = 60/13 60/13 gün

Bu tablodan da görüldüğü üzere, işin yarısını tamamlamak için gereken süre 60/13 gün sonucunu elde ediyoruz.

6. Açıklamalı Örnekler ve Ek Bilgiler

6.1. Farklı Bir Yaklaşım: Oranlar ve Zaman Çarpımı

Aynı sonuca ulaşmak için kullanılan bir başka popüler yöntem de “1 iş = 1 birim” yaklaşımına ek olarak “Zaman-Oran Çarpımı” tekniğidir. Orada da mantık yine aynıdır, ancak bazen şu şekilde formüle edilir:

  1. İşçi A’nın çalışma hızı = (İşin X oranı) / (Gün sayısı).
  2. Birlikte çalışma hızı = Hızların toplamı.
  3. Aranan zaman = Tamamlanacak iş miktarı / Birlikte çalışma hızı.

Bu problemde de aynı mantığı ters getirdiğimizde yine 60/13 gün elde ederiz.

6.2. Benzer Problemler ve İpuçları

  • Eğer soru “x işçinin tamamladığı bir havuzu bir makine devralırsa ne olur?” gibi farklı varyasyonlara da genişletilebilir. Ancak temelinde yine hızların (oransal kapasite) toplanması fikri yatar.
  • “Yarısı” yerine “3/4’ü” veya “tamamı” soruluyorsa, yine aynı yaklaşım geçerli olacaktır; sadece hedeflenen iş miktarı (yarım iş, çeyrek iş, tam iş vb.) başa yazılır.
  • Özellikle EKOK kavramının hızlarla incelenmesi, farklı hız birimleri birleştirilirken herhangi bir aritmetik hata yapmayı önler.
  • Gündelik hayatta, bu tür sorular inşaat, üretim, proje yönetimi gibi konularda karşımıza çıkabilir.

7. Soru Çözümünün Detaylı Özeti (Yaklaşık 2000 Kelime)

Aşağıda, “işçi-havuz problemleri” olarak yaygın şekilde bilinen bu tip problemlerin çözüm yolunu gereğinden fazla detaylandırarak, konunun özünü ve arka planını kapsamlı biçimde ele alacağız. Bu sayede, benzer nitelikteki sorularla tekrar karşılaştığınızda, mantığınızı adım adım nasıl uygulayacağınızı kolayca hatırlayabilirsiniz.

7.1. Problemin Kapsamı ve Neden Önemlidir?

İşçi-havuz problemleri, genelde matematiğin oran-orantı, kesir ve denklem çözümü uğrak noktasında yer alan temel konulardan biridir. Teorik açıdan bakarsak, her işçi bir “hız” ile tanımlanır. Bu hız, “birim zamanda yapılan iş miktarı” şeklinde ifade edilir. Günümüz sektörlerinde de iş planlaması ve proje yönetimi sıklıkla bu mantığa dayanır. Örneğin bir inşaata yerleştirilmiş 2 vinçten biri günde 10 kat tuğla çıkarabilirken, diğeri günde 15 kat tuğla çıkarabiliyorsa, “toplam günde 25 kat tuğla” çıkarılabildiğini söylemek mümkündür. Benzer şekilde, bu problemde de aynı yaklaşım 2 işçinin birlikte çalışma performansını ortaya koyar.

7.2. Birinci İşçi ile İlgili İçgörüler

Sorunun “birinci işçinin günde ne kadar iş yaptığı” kısmı, 2/5 işi 6 günde bitiriyorsa, “her gün 2/5 / 6 işi” şeklinde hesaplanabilir. Bu, tamamen matematiğin en temel kuralına dayalı bir pay/payda işlemi:

  • Toplam işin 2/5 kadarı 6 günde bitiyor.
  • 6 günün her bir gününde aynı miktarda iş yapıldığını varsayarsak, 1 günde (2/5) / 6 = 2/(5×6) oranında iş.

Bu, çok basit gözüken ama işçi-havuz problemlerinin kalbinde yer alan bir mantıktır: “Sabit hız”. Yani, işçinin her gün yaptığı iş miktarının aynı olduğunu varsayıyoruz. Bu varsayım, gerçek hayatta tam olarak geçerli olmasa bile (insanların verimliliği düşebilir, mola verebilirler vs.) matematiksel modellemede “sabit” alınır.

7.3. İkinci İşçi ile İlgili İçgörüler

İkinci işçi için de aynı mantığı uyguluyoruz. Elde edilen sonuç, günde 1/24 oranında iş yapmasıdır. Örneğin 3/8’ini 9 günde bitiren bir işçi, her bir gün 3/8’in 1/9’unu yapmak zorundadır. Matematiksel gösterimde: (3/8) ÷ 9 = 3/(8×9) = 1/24.

Bu 1/24, işin tamamının 24’te biri manasına gelir. Yani 24 gün boyunca durmadan tek başına çalışırsa, işin tamamını bitirmiş olurdu.

7.4. Oranların Toplanması Prensibi

İşçi-havuz sorunlarında en bilinen yaklaşım, “aynı anda çalışma” durumunda yapılan iş miktarlarının toplanmasıdır. Bir kişi günde 1/15’lik iş yaparken, diğeri 1/24’lük iş yapar. Bu ikisi aynı günde birlikte çalıştığında, doğal olarak (1/15 + 1/24) kadar iş yapılmış olur. Herhangi bir işçi-havuz sorusunda, “birlikte çalışma” anahtar cümlesi geçtiğinde, yapılacak ilk iş hızları toplamak şeklindedir.

7.5. İşin Yarısını Tamamlama Sorusu

Burada dikkat edilmesi gereken bir detay, sorunun “işin tamamı” yerine “yarısı” (1/2) demesidir. Bu da “1” yerine “1/2” yapmamız gerektiğini gösterir. O nedenle, topladığımız hız (1/15 + 1/24 = 13/120) ile “yarı iş” (1/2) arasındaki ilişkiyi kullanırız:

\text{Süre} = \frac{\text{Yapılacak iş}}{\text{Günlük hız}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{13}{120}}

7.6. Hesaplamaların Mecazi Açıklaması

Eğer bu iki işçi bir binanın boyanmasından sorumlu olsa ve bina “toplam 1 iş” kabul edilse, birinci işçi günde binanın 1/15’ini, ikinci işçi de 1/24’ünü boyuyorsa, beraber günde 13/120’lik kısım boyanır. Binanın sadece yarısını boyamak istiyorsak, “yarı bina = 1/2 iş” demek olup, 1/2’yi 13/120’ye böldüğümüzde, 60/13 gibi bir sonuç buluruz. Bu da yaklaşık 4,615 gün demektir.

7.7. Gerçek Hayatta Uygulama

Elbette gerçek hayatta iş planlamasında mola, tatil, fiziksel yorgunluk, arızalar gibi çeşitli faktörler devreye girer. Fakat matematiksel modelleme; sorunun idealize edilmiş koşullarında, sabit hız ve sürekli çalışma varsayarak bu tür problemleri çözer. Özellikle proje zamanlaması yapılırken, bu baz hızların üzerine ek gecikme payları (mühendislik güvenlik katsayıları) konabilir.

7.8. Sonucun Mantıksal Değerlendirmesi

Herhangi bir “işçi-havuz” problemi çözüldüğünde, bulduğunuz cevabın akla yatkınlığını kontrol etmeniz önemlidir. Burada:

  1. Birinci işçi tek başına (işin tamamını) kaç günde bitirir?
  • 1 günde 1/15 yaptığını biliyorsak, tüm işi tek başına bitirmek için 15 güne ihtiyacı var.
  1. İkinci işçi tek başına (işin tamamını) kaç günde bitirir?
  • 1 günde 1/24 yaptığını biliyorsak, tüm işi tek başına bitirmek için 24 güne ihtiyacı var.

İşin yarısı, ilk işçi tek başına yapsa 7,5 günde (15 günün yarısı) bitebilirdi. İkinci işçi yapsa 12 günde (24 günün yarısı) bitebilirdi. İkisi bir arada çalıştığında ise bu süre 7,5 ve 12 günün her ikisinden de kısa çıkmalıdır. Bulunan 60/13 ≈ 4,615 gün, 7,5 ve 12 arasındaki bir değerden küçük ve makul bir sonuçtur. Dolayısıyla cevap akla uygun görünür.

7.9. Sınavlarda Karşılaşılan Yaygın Hatalar

  1. Tüm işi hesaplayıp sonra yarıya bölmeyi unutmak: Bazı öğrenciler “işin tamamını” bitirme süresini bulup o değeri sonuca yansıtır. Bu yanlış bir yaklaşımdır. Soruda özel olarak “işin yarısını” sorduysa, mutlaka 1/2 değerini kullanmalısınız.
  2. Ters doğru orantıyı atlamak: “2/5’i 6 günde” şeklinde yazılıp hesaplama eksik veya yanlış yapıldığında, sonuçlar tutarsız hale gelir.
  3. Hızları toplarken ortak payda hatası: 1/15 + 1/24 gibi ifadeleri doğru birleştirebilmek için, 15 ile 24’ün en küçük ortak katının 120 olduğunu bilmek gerekir. Yanlış payda veya pay ile sonuca gidildiğinde hatalı rakam çıkar.

7.10. Genişletilmiş Varyasyonlar

  • “Üçüncü bir işçinin de katılması”
  • “Belirli saatler veya mola durumları”
  • “Daha ileri seviye: Bir işçi yarım gün, diğer tam gün çalışıyor.”

Hepsinde temelinde aynı mantık vardır, sadece denklem biraz daha detaylanır.

7.11. Sonuç

Böylece, ideal koşullarda iki işçi ortak hareket ettiğinde, işin 1/2’lik kısmı tam olarak 60/13 gün içinde bitmiş olacaktır.

8. Sonuç ve Özet Tablosu

Aşağıda, hem son hesaplamaları hem de kısa bir özet niteliğinde sunduğumuz tabloyu görebilirsiniz:

İşçi 6 Günde Yaptığı İş 9 Günde Yaptığı İş Günlük İş Oranı İşin 1/2’sini Tamamlamak İçin Birlikte Gerekli Süre
Birinci (A) 2/5 (6 günde) - 1/15
İkinci (B) - 3/8 (9 günde) 1/24
Toplam - - 1/15 + 1/24 = 13/120 (1/2) / (13/120) = 60/13

Genel Sonuç: İki işçi birlikte çalışarak işin yarısını 60/13 günde tamamlar.

Bu, yaklaşık 4,615 güne karşılık gelir ki soruda tam kesir olarak 60/13 cevabını görmek yeterlidir.

@Mehmet_TUNCEZ