Mehmet_TUNCEZ kullanıcı tarafından sağlanan havuz problemi için bir çözüm yapmak istiyorum:
Sorunun çözümü:
Problem Detayları:
- Boş bir havuz A musluğu tek başına 6 saatte, B musluğu ise 12 saatte dolduruyor.
- C musluğu havuzun 3 saatte tamamını boşaltıyor.
- Havuzun yarısı dolu iken üç musluk aynı anda açıldığında, havuz kaç saatte tamamen boşalır?
Adım 1: Muslukların iş hızı verileri
- A musluğu: 1 saatte havuzun \frac{1}{6} 'ini doldurur.
- B musluğu: 1 saatte havuzun \frac{1}{12} 'ini doldurur.
- C musluğu: 1 saatte havuzun \frac{1}{3} 'ünü boşaltır.
Adım 2: Üç musluk birlikteyken net iş hızı
Üç musluk aynı anda çalıştığında net iş hızını bulmak için muslukların hızlarını toplarız:
\text{Net hız} = \text{A'nın hızı} + \text{B'nin hızı} - \text{C'nin hızı}
\text{Net hız} = \frac{1}{6} + \frac{1}{12} - \frac{1}{3}
Ortak payda 12 olduğunda:
\frac{1}{6} = \frac{2}{12}, \ \frac{1}{12} = \frac{1}{12}, \ \frac{1}{3} = \frac{4}{12}
\text{Net hız} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} - \frac{4}{12} = \frac{-1}{12}
Net hız negatif olduğundan (havuz boşalıyor), bu şu anlama gelir:
Üç musluk birlikte çalıştığında havuzun -\frac{1}{12} kadarı 1 saatte boşaltılır.
Adım 3: Havuzun yarısı dolu iken boşalması için geçen süre
Havuzun yarısıyla işlem yapıyoruz:
Havuzun yarısı = \frac{1}{2}
t = \frac{\text{Havuzun boşalacak kısmı}}{\text{Net hız}}
t = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{12}} = \frac{1}{2} \times 12 = 6 \, \text{saat}
Sonuç:
Havuzun yarısı dolu iken üç musluk aynı anda açıldığında, havuz 6 saatte tamamen boşalır.
Doğru cevap: D) 6
Mehmet_TUNCEZ sorunu çözmek için bu adımları takip edebilir. Eğer başka bir sorunuz varsa ya da daha fazla açıklama isterseniz, sormaktan çekinmeyin! 
@Mehmet_TUNCEZ
Boş bir havuzu A ve B muslukları sırasıyla 6 ve 12 saatte doldururken, havuzun tabanında bulunan C musluğu havuzu 3 saatte boşaltıyor. Havuzun yarısı dolu iken üç musluk aynı anda açıldığında havuz kaç saatte boşalır?
Cevap:
Merhaba! Bu soru, klasik bir “işçi-havuz” veya “musluk-havuz” problemidir. Burada üç musluk söz konusudur: ikisi (A ve B) havuzu doldurmaya yönelik çalışırken, diğeri (C) havuzu boşaltmaktadır. Havuz başlangıçta yarısına kadar dolu durumdadır ve üç musluk aynı anda açıldığında havuzun kaç saat sonra tamamen boşalacağı sorulmaktadır.
Aşağıdaki ayrıntılı anlatımda, önce probleme dair genel kavramları ve adım adım çözüm yolunu ele alacağız. Ardından hem formül düzeyinde hem de mantıksal yaklaşımla problemi nasıl çözebileceğimizi göstereceğiz. En sonunda da sonuçları özetleyeceğiz.
İçindekiler
1. Genel Bakış ve Problem Tanımı
Bu problemde:
- A musluğu: Havuzu 6 saatte tam olarak doldurabilme kapasitesine sahip.
- B musluğu: Havuzu 12 saatte tam olarak doldurabilme kapasitesine sahip.
- C musluğu: Havuzu 3 saatte tam olarak boşaltabilme kapasitesine sahip.
Diğer önemli bilgi ise havuzun başlangıçta yarısına kadar dolu olmasıdır. Tüm musluklar aynı anda açıldığında (A ve B doldururken, C ise boşaltırken) net sonuç olarak havuz kaç saat sonunda tamamen boş kalır?
Bu tür problemlerde, olumlu (doldurma) ve olumsuz (boşaltma) “iş” oranlarını aynı anda hesaba katarak net birim zamanda dolan veya boşalan havuz miktarını bulmak gerekir.
2. Temel Kavramlar ve Tanımlar
- Doldurma Hızı (pozitif iş): Bir musluğun ya da bir ekibin birim zamanda yaptığı dolum miktarı.
- Boşaltma Hızı (negatif iş): Bir musluğun veya bir pompanın birim zamanda yaptığı boşaltma miktarı.
- Birim Hacim: Havuzun tüm hacmi “1 birim” olarak kabul edilir. Böylece doldurma veya boşaltma hızları “havuzun 1/6’sını, 1/12’sini veya 1/3’ünü bir saatte doldurur/boşaltır” şeklinde ifade edilebilir.
Örneğin:
- A musluğu = 1/6 havuz/saat (6 saatte 1 havuz)
- B musluğu = 1/12 havuz/saat (12 saatte 1 havuz)
- C musluğu = 1/3 havuz/saat (3 saatte 1 havuz)
Pozitif hız: havuzu doldurma miktarı
Negatif hız: havuzu boşaltma miktarı
3. Muslukların Birim Zaman İşlem Hızları
Her musluğun bir saatte “havuzun kaçta kaçını” doldurduğu ya da boşalttığını hesaplamak bu tür problemlerin temelidir. Bunu bir tablo ile özetleyelim:
| Musluk | Dolum / Boşaltma Süresi (Saat) | 1 Saatte Yaptığı İş (Havuzun hangi kısmı) |
|---|---|---|
| A (Doldurma) | 6 | 1/6 (havuz/saat) |
| B (Doldurma) | 12 | 1/12 (havuz/saat) |
| C (Boşaltma) | 3 | 1/3 (havuz/saat) (boşaltır) |
Bu tabloda A ve B muslukları doldurma hızına, C ise boşaltma hızına sahiptir. Dikkat edilmesi gereken nokta, C musluğunun hesaplamada “negatif” bir iş oranına sahip olduğudur (çünkü suyu boşaltır).
4. Havuz Problemlerinin Genel Çözüm Mantığı
Bir havuz problemi çözümlenirken genellikle şu adımlar izlenir:
- Adım 1: Her işçinin (veya her musluğun) birim zamanda yaptığı işi (doldurma veya boşaltmayı) belirlemek.
- Adım 2: Birlikte çalıştıklarında net toplam işi bulmak. (Doldurmanın pozitif, boşaltmanın negatif alındığı bir toplama işlemi)
- Adım 3: Başlangıç hacmi veya başlangıçtaki doluluk/boşluk yüzdesini dikkate alarak, hangi yönde (dolma mı boşalma mı) ilerlediğini saptamak.
- Adım 4: İstenen sonuca (tamamen dolu ya da tamamen boş) ulaşmak için gerekli süreyi bulmak.
Bu problemde ise sonunda havuzun “tamamen boş” kalmasını istiyoruz.
5. Adım Adım Çözüm
Adım 1: Musluk Hızlarını Belirleme
Verilen bilgilere göre:
- A musluğu 6 saatte 1 havuz* doldurur:
\text{A’nın doldurma hızı} = \frac{1}{6} \ (\text{havuz}/\text{saat})
- B musluğu 12 saatte 1 havuz* doldurur:
\text{B’nin doldurma hızı} = \frac{1}{12} \ (\text{havuz}/\text{saat})
- C musluğu 3 saatte 1 havuz* boşaltır:
\text{C’nin boşaltma hızı} = \frac{1}{3} \ (\text{havuz}/\text{saat})
(*) “1 havuz”, havuzun tamamıdır.
Adım 2: Net Etki ve Birim Zaman İşlem
Üç musluk aynı anda açıldığında ortaya çıkan net doldurma/boşaltma hızı:
- Doldurma yapan muslukların hızları:
\frac{1}{6} + \frac{1}{12}
- Boşaltma yapan musluk:
- \frac{1}{3}
Dolayısıyla net etki,
\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{12}\right) - \frac{1}{3}
şeklindedir.
Bu toplamı basitleştirelim. Ortak payda 12 alırsak:
- 1/6 = 2/12
- 1/12 = 1/12
- 1/3 = 4/12
\text{Net hız}
= \frac{2}{12} + \frac{1}{12} - \frac{4}{12}
= \frac{2 + 1 - 4}{12}
= \frac{-1}{12}
Bulunan net hız: -\frac{1}{12} havuz/saat. Bu negatif değer, sistemin beyaz bir tabirle “havuzdan su çıkarma” yönünde ilerlediğini, yani havuzun saatte 1/12’sinin boşaldığını gösterir.
Adım 3: Havuzun Yarı Hacminin Boşalması
Havuz başta yarı doludur. Yani başlangıçta \tfrac{1}{2} havuz doluluk mevcuttur. Eğer net hız -\tfrac{1}{12} (havuzu boşaltma yönünde) ise, yarım havuz, bu net boşalma hızıyla kaç saatte tamamen boşalır?
Aradığımız süre t saat olsun. Aşağıdaki eşitliği kurarız:
\text{(Mevcut Miktar)} = \text{(Net Boşalma Hızı)} \times t
Ancak mevcut miktar \tfrac{1}{2} havuz olup net boşalma hızı \tfrac{1}{12} havuz/saat’ye eşittir (mutlak değer olarak 1/12, yönü boşaltma olduğundan -1/12).
Dolayısıyla:
\frac{1}{2} = \frac{1}{12} \times t
t = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{12}} = \frac{1}{2} \times 12 = 6
Adım 4: Toplam Süre Hesaplama
Sonuç olarak, havuzun yarısı, bu net akışla tam 6 saatte tamamen boşalır.
Dolayısıyla cevabımız: 6 saat.
6. Örnek Bir Senaryo Üzerinden Ek Açıklamalar
Gerçekte şöyle düşünülebilir: Havuzun yarısı dolu olduğu ana gelindiğinde, sadece C musluğu açık olsa 3 saatte tüm havuzu boşaltırdı (aslında tam dolu bir havuzu 3 saatte boşalttığı için yarımı 1.5 saatte boşaltabilir). Ancak A ve B de aynı anda çalışarak su ekledikleri için, bu boşalmayı biraz yavaşlatırlar. Öte yandan C’nin boşaltma hızı daha büyüktür (1/3). Buna rağmen A (1/6) ve B (1/12) birlikte bile, topluca suyun boşalmasını engelleyemeyip yine de net boşalmayı sağlarlar; yalnızca tamamen boşalmak daha uzun sürer. Hesap sonucu 6 saattir.
7. Sık Yapılan Hatalar ve İpuçları
- Net hızı yanlış hesaplama: A ve B musluklarının hızlarını birbirine ekledikten sonra C musluğu hızını çıkarmayı unutanlar veya toplama/çıkarma işleminde hata yapanlar yanlış sonuca varır.
- Payda bulma hatası: 1/6 + 1/12 - 1/3 şeklinde bir toplamada, paydaları düzgünce bulmak önemlidir.
- Başlangıç hacmini 1 sanma: Havuzun yarısı dolu ifadesiyle, net hızda “1 havuz” üzerinden 6-12-3 hesaplanırken, karıştırılma olabilir. Burada sadece 0.5’lik hacmin boşalması gerektiği akılda tutulmalıdır.
- Yanlış orantı kurulumu: Hızlar havuz/saat cinsinden olduğundan, “geri kalan havuz miktarını bu oranda ne kadar zamanda boşaltır?” sorusu doğru orantı gerektirir.
8. Tablolarla Özet
Aşağıdaki tablolar, çözümün ana noktalarını özetlemektedir:
8.1. Musluk Hızları Tablosu
| Musluk | İşlev | Süre (Saat) | Hız (Havuz/ Saat) |
|---|---|---|---|
| A | Doldurma | 6 | 1/6 |
| B | Doldurma | 12 | 1/12 |
| C | Boşaltma | 3 | 1/3 (boşaltma yönünde) |
8.2. Adım Adım Hız Hesabı ve Sonuç
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Net hız bulma | (A + B) – C = 1/6 + 1/12 – 1/3 | -1/12 (havuz/saat) |
| 2. Başlangıç doluluk | Havuzun yarısı dolu (0.5 havuz) | 1/2 |
| 3. Süre eşitliği | (Yarı dolu miktar) ÷ (Net boşaltma hızı) | (1/2) ÷ (1/12) |
| 4. Sonuç (Zaman) | (1/2) × 12 = 6 | 6 Saat |
Tablo 8.2’de görüldüğü gibi, net boşaltma hızı 1/12 havuz/saat olduğundan, yarım havuzun boşaltılması 6 saat sürmektedir.
9. Konuyla İlgili Geniş Kapsamlı Anlatım (İşçi-Havuz Problemleri)
İşçi-havuz problemleri, temelinde benzer mantığa dayanır. Örneğin:
- Bir inşaat işini tek başına bir işçi 6 günde, diğeri 12 günde bitirebiliyorsa, birlikte kaç günde biter?
- Bir havuzu dolduran iki musluk ve boşaltan bir musluk varken, istenen hacme ulaşmak ne kadar sürer?
Bu tür sorularda en önemli nokta, birim zamanda yapılan iş (veya doldurma/boşaltma miktarı) kavramını doğru oturtmaktır.
9.1. İşçi-Havuz Problemlerinde Oran ve Orantı
Karşılaştırmalı sorularda;
- “Musluk A bir saatte 1/6 kadar havuzu dolduruyorsa 2 saatte 2/6 = 1/3 doldurur.”
- “İki musluk birlikte bir saatte (1/6 + 1/12) = 1/4 havuz doldurabilir.”
- “Boşaltma musluğunun hızı 1/3 ise, doldurma hızıyla toplanırken eksi işareti ile alınır.”
9.2. Muslukların Ortak Çalışması
Ortak çalışma:
- İki veya daha fazla musluk açıldığında (veya iki veya daha fazla işçi birlikte çalıştığında), hızlar toplanır.
- Boşaltma veya geri yönde çalışan sistemler varsa, bunların hızı negatif olarak toplanır.
9.3. Parçalı Dolu ve Parçalı Boş Durumlar
Havuzun yarısı, üçte biri, dörtte biri dolu olması gibi durumlar sıkça karşımıza çıkar. Bu tür sorularda, havuzun kalan kısmının veya zaten dolu olan kısmının ne kadar zamanda doldurulacağı/boşalacağı incelenir.
Örneğin:
- Yarı dolu havuzu kaç saatte doldururlar?
- Çeyrek dolu bir havuz, doldurma hızı X, boşaltma hızı Y olan musluklarla ne kadar sürede tamamen dolar ya da boşalır?
10. Ek Örnek Problem ve Çözümü
Burada verilen problemle benzer başka bir örnek üzerinden pratik yapmak yararlı olabilir.
Örnek Soru:
- D musluğu boş bir havuzu 8 saatte dolduruyor, E musluğu aynı havuzu 4 saatte boşaltıyor. Havuzun 1/2’si doluyken D ve E muslukları birlikte 2 saat çalıştırılıyor. Bu 2 saat sonunda havuzun doluluk oranı nedir?
Çözüm:
- D musluğu hızı = 1/8 havuz/saat (doldurma)
- E musluğu hızı = 1/4 havuz/saat (boşaltma, negatif)
Net hız = 1/8 – 1/4 = 1/8 – 2/8 = -1/8 (havuz/saat)
Yani net boşalıyor, saatte 1/8 havuz boşalıyor.
- Havuz başlangıçta 1/2 dolu. 2 saat sonra net boşalacak miktar = 2 × (1/8) = 1/4.
- Başlangıçtaki 1/2’lik hacmin 1/4’ü boşalırsa geriye 1/4 dolu kalır.
Demek ki 2 saat çalıştırma sonunda havuzun 1/4’ü dolu kalır.
Bu örnek de gösteriyor ki, net hızı bulup, zamanla çarparak değişimi hesaplamak, işçi-havuz ve musluk-havuz sorularının genel çözüm anahtarıdır.
11. Sonuç ve Özet
Bu problemde, doldurma ve boşaltma muslukları aynı anda çalıştığında net akış miktarını (pozitif doldurma hızlarının toplamı eksi boşaltma hızlarının toplamı) bulmak gerekir.
- A’nın hızı: 1/6 havuz/saat
- B’nin hızı: 1/12 havuz/saat
- C’nin hızı: 1/3 havuz/saat (boşaltma)
Net hız = 1/6 + 1/12 – 1/3 = -1/12 havuz/saat. Bu, havuzun her saat 1/12’sinin boşalacağı anlamına gelir.
Havuzun başlangıçta yarısı dolu (yani 1/2) olduğunu dikkate aldığımızda, bu 1/2 havuz ne kadar sürede boşalır?
\text{Süre} = \frac{1/2}{1/12} = 6 \ \text{saat}
Cevap: 6 saat.
Bu sonuç, hem temel matematiksel orantı yöntemleriyle hem de mantıksal bakış açısıyla doğrulanabilir.
Görüldüğü gibi, havuzun yarısı dolu iken A ve B musluklarının doldurma girişimi olsa da, C musluğunun boşaltma kapasitesi daha yüksek olduğu için net etki, havuzu boşaltmak yönünde oluyor. Ancak A ve B boşalmayı yavaşlattığından, sıfırdan (tam boş) başlamış olsa 3 saatte boşalacak havuz yerine 6 saatte boşalma gerçekleşiyor.
Bu detaylı açıklama doğrultusunda, sorunun doğru yanıtı:
6 saat (Seçeneklerde D şıkkı).
Boş bir havuzu A ve B muslukları sırasıyla 6 ve 12 saatte doldururken, havuzun tabanında bulunan C musluğu havuzu 3 saatte boşaltıyor. Havuzun yarısı dolu iken üç musluk aynı anda açıldığında havuz kaç saatte boşalır?
Cevap: 6 saat
Açıklama ve Çözüm
1) Muslukların Havuzla İlgili Kapasiteleri
- A musluğu (doldurma): Havuzu 6 saatte dolduruyor. Yani 1 saatte havuzun\frac{1}{6}kadarını doldurur.
- B musluğu (doldurma): Havuzu 12 saatte dolduruyor. Yani 1 saatte havuzun\frac{1}{12}kadarını doldurur.
- C musluğu (boşaltma): Havuzu 3 saatte tamamen boşaltıyor. Yani 1 saatte havuzun\frac{1}{3}kadarını boşaltır.
2) Net Akış Hızı
Tüm musluklar aynı anda açıldığında, doldurucu musluklar havuzu doldurmaya çalışırken boşaltıcı musluk (C) havuzu boşaltmaya çalışır. Net akış hızı (havuzun bir saatlik dolan veya boşalan miktarı) şu şekilde hesaplanır:
\text{Net akış} = \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{12}\right) - \frac{1}{3}
Detaylı İşlem
- A musluğunun hızı:\frac{1}{6} \text{ (havuz/h) }
- B musluğunun hızı:\frac{1}{12} \text{ (havuz/h) }
- İkisi birlikte doldurursa:\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \text{ (havuz/h) }
- C musluğunun boşaltma hızı:\frac{1}{3} \text{ (havuz/h) }
Dolayısıyla net akış:
\frac{1}{4} - \frac{1}{3} = \frac{3}{12} - \frac{4}{12} = -\frac{1}{12}
Negatif işaret, havuzun dolmak yerine boşaldığını ifade eder. Bu da bir saatte havuzun 1/12’sinin boşaldığı anlamına gelir.
3) Havuzun Yarıdan Boşalması
Havuzun başlangıçta yarısı dolu durumda. Yani boşalması gereken miktar:
\frac{1}{2}
Bu miktar saatte
\frac{1}{12}
oranında boşalıyor.
4) Kaç Saatte Tamamen Boşalır?
Boşalacak miktarı (1/2) net hızla (1/12) böleriz:
\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{12}} = \frac{1/2}{1/12} = \frac{1}{2} \times \frac{12}{1} = 6
Yani havuzun yarısını boşaltmak 6 saat sürer.
Sonuç: Havuz, yarı dolu iken üç musluk aynı anda açıldığında 6 saatte tamamen boşalır.